Klot

Klot

Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Klotets volym kan beräknas med formeln

$V=\frac{4\pi r^3}{3}$

där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Mantelytan är

$A=4\pi r^2$

Härledning av volymformeln

En halvcirkel med radien r och centrum i origo motsvarar funktionen (se Pythagoras sats)

$f(x)=\sqrt{r^2-x^2},x\in [-r,r]$

Motsvarande rotationskropp har volymen

$\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi (r^2-x^2)dx$

Termerna separeras

$\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi r^{2}dx-\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi x^{2}dx$

och de primitiva funktionerna blir

$\pi r^2{\left[x\right]}_{-r}^r-\pi {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-r}^r$

Insättning av r och −r ger

$\pi (r^3-(-r^3))-\pi (\frac{r^3}{3}-(-\frac{r^3}{3}))=\frac{4}{3}\pi r^3$

Klot i analytisk geometri

Inom analytisk geometri beskrivs klotet i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\le r^2$

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.