Jacobiform

Inom matematiken är en Jacobiform en automorfisk form över Jacobigruppen, som är den semidirekta produkten av symplektiska gruppen Sp(n;R) och Heisenberggruppen $H_R^{(n,h)}$. Teorin av Jacobiformer studerades först systematiskt Mall:Harvtxt.

Definition

En Jacobiform av nivå 1, vikt k och index m är en funktion φ(τ,z) av två komplexa variabler (med τ i övre planhalvan) så att

• $\varphi (\frac{a\tau +b}{c\tau +d},\frac{z}{c\tau +d})=(c\tau +d{)}^k{e}^{\frac{2\pi imc{z}^2}{c\tau +d}}\varphi (\tau ,z)\text{ för }(\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{cd})\in S{L}_2(Z)$
• $\varphi (\tau ,z+\lambda \tau +\mu )=e^{-2\pi im({\lambda }^2\tau +2\lambda z)}\varphi (\tau ,z)$ för alla heltal λ μ.
• $\varphi$ har en Fourierexpansion

$\varphi (\tau ,z)=\sum _{n\ge 0}\sum _{r^2\le 4mn}c(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.$

Exempel

Exempel i två variabler är Jacobis thetafunktioner, Weierstrass ℘-funktion och Fourier–Jacobi-koefficienterna av Siegel-modulära former av genus 2. Exempel i fler än tvåvariabler är karaktärerna av några irreducibla högsta-vikt representationer av affina Kac-Moody-algebror. Meromorfiska Jacobiformer förekommer i teorin av falska modulära former.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Citation