Itōprocess

En Itōprocess är en stokastisk process, $\{X_t{\}}_{t\in [0,T]}$, vars element kan framställas som en summa av en 'vanlig integral' och en stokastisk integral:

$X_t=x+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{a}_{s}ds+\underset{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}}{\underbrace{\underset{0}{\overset{t}{\int }}{b}_{s}d{W}_s}},t\in [0,T].$

En sådan framställning kallas för en stokastisk differentialekvation, och den brukar skrivas mer kortfattat på följande sätt:

$d{X}_t=a_{t}dt+b_{t}d{W}_t,X_0=x.$

De stokastiska processerna $\{a_t{\}}_{t\in [0,T]}$ och $\{b_t{\}}_{t\in [0,T]}$ skall vara sådana att integralerna ovan existerar, vilket de gör om

$\mathbb{P}\{\underset{t\in [0,T]}{\sup }\underset{0}{\overset{t}{\int }}|a_s|ds<\mathrm{\infty }\}=1och\mathbb{P}\{\underset{t\in [0,T]}{\sup }\underset{0}{\overset{t}{\int }}|b_s{|}^{2}ds<\mathrm{\infty }\}=1.$

Vidare skall processernas värden vid varje tidpunkt endast bero på de tidigare värden som Wienerprocessen W antagit; värdena $a_s$ och $b_s$ skall vara funktioner av värdena $W_u$, där tiderna u ligger före tidpunkten s:

$a_s=f_s(W_u:u\in [0,s])och{b}_s=g_s(W_v:v\in [0,s]),s\in [0,T].$

Man säger att processerna a och b är anpassade till den filtration som Wienerprocessen genererar:

$a_s,b_s\in \sigma (W_s:s\in [0,t]),s\in [0,T].$

Processen är uppkallad efter den japanske matematikern Kiyoshi Itō.

Se även

• Stokastisk integral
• Itos formel (eller Itos lemma), ett mycket viktigt resultat nära knutet till begreppet Itōprocess

Källor

• B. Øksendal, Stochastic differential equations: An introduction with applications, Fifth edition, (2000), Springer Verlag;
• T. Björk, Arbitrage theory in continuous time, (1998), Oxford University Press;
• I. Karatzas och S.E. Shreve, Brownian motion and Stochastic calculus, Second edition, (1991), Springer Verlag