Instängningssatsen

Ett exempel på instängningssatsen, g=blå kurva, f=svart kurva och h=röd kurva.
Svart kurva visar grafen till
$x^2\sin \frac{1}{x}$

Instängningssatsen, även satsen om de två polismännen, polislemmat, klämsatsen, är en sats (ibland sedd som ett lemma) inom matematisk analys. Satsen innebär att om funktionen f är större än g men mindre än h (g < f < h), i ett visst intervall, måste f vara lika med g och h om både h och g närmar sig en punkt p.

Satsen kan skrivas

Låt I vara ett intervall som innehåller punkten a. Låt f, g, och h vara funktioner definierade på intervallet I, utom möjligtvis för punkten a. Antag att för varje x i I skilt från a

$g(x)\le f(x)\le h(x)$

och att

$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$

Då måste $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

Namnet satsen om de två polismännen härstammar från jämförelsen att de två polismännen Gustav (g) och Harald (h) med boven Frans (f) mellan sig rör sig mot fängelset; då Gustav och Harald närmar sig fängelset har Frans ingen annanstans att ta vägen än att följa med.

Exempel

Funktion av en variabel

Olikheten
$\sin x<x<\tan x$
illustrerad på enhetscirkeln

Gränsvärdet

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

kan bevisas med instängningssatsen. För 0 < x < π/2 kan det visas att

$\sin x<x<\tan x$

Division med sin(x) ger

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{\tan x}{\sin x},$

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x},$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1$

och instängningssatsen ger då

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$

och således är

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

Funktion av två variabler

$g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)$

Instängningssatsen kan användas även för funktioner av flera variabler. I till exempel fallet f : R² → R blir funktionsvillkoren

$g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)$

för alla (x, y) i en omgivning till gränsvärdespunkten. Ett villkor är att målfunktionen verkligen har ett gränsvärde i den givna punkten. Satsen kan därför användas för att visa att en funktion har ett gränsvärde i en given punkt, men kan inte användas för att visa att gränsvärdet inte existerar.

$\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}$

Visa att gränsvärdet

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}$

existerar.

$0\le \frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1,$

$-\left|y\right|\le y\le \left|y\right|,$

$-\left|y\right|\le \frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\le \left|y\right|,$

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }-\left|y\right|=0,$

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\left|y\right|=0,$

$0\le \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\le 0,$

därför är, enligt instängningssatsen,

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}=0$

Se även

• Gränsvärde

Referenser

• Mall:MathWorld