Hyperbolisk triangel

Hyperboliska trianglar på ett hyperboliskt plan

En hyperbolisk triangel är en triangel på ytan av ett hyperboliskt plan.

En hyperbolisk triangels area är

$\arccos \frac{\alpha +\beta +\gamma +\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-\alpha \beta \gamma }{(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )}$

där

$\alpha =\cosh a,\beta =\cosh b,\gamma =\cosh c$

och a, b och c är längderna av triangelns sidor.

Om

$\mathrm{\Delta }=\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2-{\gamma }^2+2\alpha \beta \gamma }$

är större än noll, så gäller för vinkeln A som är motstående vinkel till sidan med längden a:

$\sin \frac{A}{2}=\frac{\mathrm{\Delta }}{4\cosh \frac{a}{2}\cosh \frac{b}{2}\cosh \frac{c}{2}}$

$\tan \frac{A}{2}=\frac{\mathrm{\Delta }}{1+\alpha +\beta +\gamma }$