Hilbertmatris

Inom matematiken är en Hilbertmatris en matris där elementen består av bråktal med täljaren 1, uppkallad efter matematikern David Hilbert.

Definition

Ett element $h_{ij}$ i en Hilbertmatris har värdet:

$h_{ij}=\frac{1}{i+j-1}.$

Exempel

Hilbertmatrisen H av format $4\times 4$:

$H=\left(\begin{array}{cccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}\end{array}\right)$

Egenskaper

Hilbertmatriser är positivt definita och symmetriska. Matrisen är ett typexempel på en illa konditionerad matris, då dess konditionstal är av ordningen $O(e^{3.5255n}/\sqrt{n})$.