Hermites identitet

Inom matematiken är Hermites identitet, uppkallad efter Charles Hermite, en identitet som ger värdet av en summa som innehåller golvfunktionen. Identiteten säger att för varje reellt tal x och positivt heltal n gäller följande identitet:

$\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =\lfloor nx\rfloor .$

Bevis

Dela upp $x$ i heltalsdelen och bråkdelen, $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$. Det finns exakt en $k^{\prime }\in \{1,\dots ,n\}$ med

$\lfloor x\rfloor =\lfloor x+\frac{k^{\prime }-1}{n}\rfloor \le x<\lfloor x+\frac{k^{\prime }}{n}\rfloor =\lfloor x\rfloor +1.$

Genom att subtrahera samma heltal $\lfloor x\rfloor$ från insidan av golvoperationerna på de vänstra och högra sidorna av denna olikhet, kan den skrivas som

$0=\lfloor \{x\}+\frac{k^{\prime }-1}{n}\rfloor \le \{x\}<\lfloor \{x\}+\frac{k^{\prime }}{n}\rfloor =1.$

Följaktligen

$1-\frac{k^{\prime }}{n}\le \{x\}<1-\frac{k^{\prime }-1}{n},$

och genom multiplikation av båda sidorna av $n$ ges

$n-k^{\prime }\le n\{x\}<n-k^{\prime }+1.$

Om nu summationen från Hermites identitet är uppdelad i två delar med index $k^{\prime }$ ges

$\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =\sum _{k=0}^{k^{\prime }-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k^{\prime }}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\lfloor x\rfloor +n-k^{\prime }=n\lfloor x\rfloor +\lfloor n\{x\}\rfloor =\lfloor n\lfloor x\rfloor +n\{x\}\rfloor =\lfloor nx\rfloor .$

Källor

• Mall:Enwp