Heine–Borels sats

Mall:Källor Heine-Borels sats eller Heine-Borels övertäckningssats är en matematisk sats om kompakta mängder uppkallad efter Eduard Heine och Émile Borel.

Heine-Borels sats har två formuleringar; en för ändligtdimensionella ${ℝ}^n$-rum och en för allmänna metriska rum. Den första formuleringen säger att:

En delmängd $S\subset {ℝ}^n$ är kompakt om och endast om S är sluten och begränsad.

Inom reell analys används ibland den andra delen av satsen som definitionen på kompakt mängd, men i allmänna metriska rum gäller bara att kompakthet implicerar slutenhet och begränsning. Det finns istället en allmännare form av Heine-Borels sats:

En delmängd till ett metriskt rum är kompakt om och endast om mängden utgör ett fullständigt rum och är sluten och totalt begränsad.

Bevis

Bevis av den första formuleringen; $S\subset {ℝ}^n$ kompakt omm S sluten och begränsad. Implikationen att kompakthet ger slutenhet och begräsning visas för metriska rum. Kom ihåg definitionen för kompakt mängd; att varje öppen övertäckning av mängden har en ändlig delövertäckning som täcker mängden.

Kompakthet ger slutenhet

Låt $y\in S^c$ (komplementet till S). För alla $x\in S$ existerar disjunkta omgivningar $B_x$ som innehåller x och $B_y^x$ som innehåller y. Det följer att alla $B_x$-mängder bildar en öppen övertäckning av S, $S\subset \bigcup _{x\in S}{B}_x$. S är kompakt, så det existerar en ändlig delövertäckning som täcker S av mängder $B_{x_1},...,B_{x_n}$, så att $G=\bigcap _{k=1}^n{B}_y^{x_k}$ är en omgivning till y som inte ligger i S, så y kan inte vara en randpunkt till S. Då y valdes godtyckligt ger detta att S innehåller alla sina randpunkter och är därmed sluten.

Kompakthet ger begränsning

I allmänna metriska rum innebär att en mängd är begränsad $\underset{x,y\in S}{\sup }d(x,y)<\mathrm{\infty }$ där d är metriken på S. En öppen övertäckning till S är mängden av klot med radie 1 med mittpunkt i x, betecknad $B_1(x)$ för alla x i S. Denna övertäckning har då en ändlig delövertäckning $B_1(x_1),...,B_1(x_N)$ som täcker S. Antag att $x,y\in S$ och $x\in B_1(x_i)$ och $y\in B_1(x_j)$, som

$d(x,y)\le d(x,x_i)+d(x_i,x_j)+d(x_j,y)<2+\underset{1\le m,n\le N}{\max }d(x_m,x_n)$

då x och y valdes godtyckligt ger detta att S är begränsad.

Slutenhet och begränsning ger kompakthet

Om en mängd $S\in {ℝ}^n$ är begränsad kan den stängas in i en n-låda:

$S\subseteq [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times ...\times [a_n,b_n]$

med $a_k<b_k$ och $a_k,b_k\in ℝ\mathrm{\forall }k$. Kalla denna n-låda för $T_0$. Man kan nu dela upp $T_0$ i flera små dellådor genom att dela varje sida i två. Vi får då $2^n$ dellådor.

Antag att $T_0$ inte är kompakt, då givet en öppen övertäckning C av $T_0$ måste finnas minst en dellåda till $T_0$ som kräver oändligt många öppna mängder för att täckas, kalla denna låda $T_1$. Fortsätt sedan med samma resonemang, dela upp $T_1$ i $2^n$ dellådor och plocka ut $T_2$, osv. Man får då en följd av T-mängder

$T_0\supset T_1\supset ...\supset T_k\supset ...$

vars längd, projicerat på $x_j$-axeln, går mot noll då n går mot oändligheten:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_j-a_j}{2^n}=0.$

Då ger Cantors inkapslingssats: $\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{T}_k\ne \mathrm{\varnothing }.$, dvs det finns en punkt $p\in T_0$. Eftersom C täcker S finns en mängd $A\in S$ så att $p\in A$. Då A är öppen finns ett n-klot $B(p)\subseteq A$, så att för tillräckligt stora k gäller $T_k\subseteq B(p)\subseteq A$, så att de oändligt många mängderna som behövs för att täcka $T_k$ kan ersättas med endast en, vilket ger en motsägelse. Alltså är $T_0$ kompakt.

S är alltså en sluten delmängd av en kompakt mängd, då resultatet nedan ger att S är kompakt.

Sluten delmängd till kompakt mängd är kompakt

Låt S vara en sluten delmängd till den kompakt mängden T i ${ℝ}^n$. Låt $C_S$ vara en öppen övertäckning av S. Om $C_S$ också täcker T så existerar det en ändlig delövertäckning av $C_S$ som täcker T, anta därför att $C_S$ inte täcker T.

$S^c={ℝ}^n\setminus S$ är då en öppen mängd som innehåller punkter i T som inte täcks av $C_S$. Låt $C_T=C_S\cup \{S^c\}$ vara en öppen övertäckning av T. Eftersom T är kompakt så har ${C_T}^{\prime }$ en ändlig delövertäckning. Då $S^c$ innehåller punkter i T som inte täcks av $C_S$ måste $S^c\in {C_T}^{\prime }$, så att ${C_T}^{\prime }={C_S}^{\prime }\cup \{S^c\}$, där ${C_S}^{\prime }$ måste vara en ändlig delövertäckning av $C_S$ eftersom $S^c$ inte täcker $S$ så ${C_S}^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }.$