Hölderkontinuitet

Mall:Källor Inom matematik säges en funktion f på ${ℝ}^d$ vara Hölderkontinuerlig eller uppfylla ett Höldervillkor om det finns konstanter C och $\alpha$ så att

$\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^d,|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }.$

Detta kan generaliseras till funktioner mellan metriska rum; om g är en funktion från metriska rummet $(X,d_X)$ till $(Y,d_Y)$ är g Hölderkontinuerlig om det finns konstanter C och $\alpha$ så att:

$\mathrm{\forall }x,y\in X,d_Y(f(x),f(y))\le C(d_X(x,y){)}^{\alpha }.$

Speciellt, om $\alpha =1$ är funktionen Lipschitzkontinuerlig och om $\alpha =0$ är funktionen en begränsad funktion.

Inom funktionalanalys studeras Hölderrum i syfte att lösa partiella differentialekvationer. Hölderrummet $C^{n,\alpha }(\mathrm{\Omega })$, där $\mathrm{\Omega }$ är en öppen delmängd till något euklidiskt rum och n något naturligt tal, består av funktioner som har derivator upp till ordning n så att n:te ordningens partiella derivatorer är Hölderkontinuerliga med exponent $\alpha$, där $0<\alpha \le 1$.