Glaishers sats

Inom talteori är Glaishers sats en användbar sats i studien av heltalspartitioner. Satsen är uppkallad efter James Whitbread Lee Glaisher.

Satsen säger att antalet partitioner av ett heltal $N$ i delar där ingen del är delbar med $d$ är lika med antalet partitioner av $N$ på formen

$N=N_1+\cdots +N_k$

där

$N_i\ge N_{i+1}$

och

$N_i\ge N_{i+d-1}+1,$

det vill säga partitioner där ingen del repeteras d eller fler gånger.

Specialfallet $d=2$ (Eulers sats) är att antalet partitioner av $N$ i distinkta delar är samma som antalet partitioner av $N$ i udda delar.

Liknande satser

Istället för räkning av partitioner med distinkta delar, om antalet partitioner med delar som skiljer sig åt med minst 2 räknas, ges en sats som liknar Eulers sats som kallas Rogers sats (efter Leonard James Rogers):

Antalet partitioner vars delar skiljer sig åt med minst 2 är lika med antalet partitioner som involverar endast tal kongruent till 1 eller 4 (mod 5).

Till exempel, det finns 6 partitioner av 10 i delar skiljer sig åt med minst 2, nämligen 10, 9+1, 8+2, 7+3, 6+4, 6+3+1; samt 6 partitioner av 10 som involverar endast 1, 4, 6, 9, …, nämligen 9+1, 6+4, 6+1+1+1+1, 4+4+1+1, 4+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1. Satsen upptäcktes avskilt av Schur och Ramanujan.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Cite journal