Girards sats

Girards sats, eller Harriot-Girards sats, är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att ytan av en sfärisk triangel $\mathrm{△}ABC$ (blå i figur 1) med hörnvinklarna $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$ på en enhetssfär är:

$|\mathrm{△}ABC|=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Inom sfärisk geometri ger satsen att för en sfärisk triangel på en sfär med radien $R$ är ytan:

$|\mathrm{△}ABC|=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$

Ytan av en triangel på en sfär med given radie avgörs alltså endast och entydigt av hörnvinklarna och dess yta bestäms av hur mycket vinkelsumman överstiger 180°. Detta vinkelöverskott kallas sfäriskt överskott eller sfärisk excess (från engelskans Spherical excess) och betecknas ofta med $E$, sålunda:

$E=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Eftersom sfäriska polygoner låter sig uppdelas i sfäriska trianglar och polygonens vinkelsumma är lika med vinkelsumman av de ingående trianglarna gäller satsen i nedanstående något modifierade form även för en sfärisk polygon med $N$ hörn och hörnvinklarna ${\alpha }_i$:

$Arean=E=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i-(N-2)\pi$

där fallet med triangeln således motsvarar $N=3$ och $(N-2)\pi$ är vinkelsumman i en plan polygon med $N$ hörn.

Bevis

Figur 1. $\mathrm{△}ABC$ blå och de tre kolunära trianglana gula.

Figur 2. Den något skeva "badbollen" (vinklarna är inte 90°) visar hur varje halvsfär är uppbyggd av en triangel från vardera av de fyra paren som definieras av tre strorcirklar.

Trianglar

Nedan bevisas satsen för $\mathrm{△}ABC$ i figur 1 enligt Eulers metod.

Tre storcirklar delar in sfärens yta i åtta trianglar, vilka parvis har samma hörnvinklar, sidor och areor. I figur 1 är dessa par:

$\mathrm{△}ABC$ och $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ med hörnvinklarna $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$

$\mathrm{△}{A}^{\prime }BC$ och $\mathrm{△}A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ med hörnvinklarna $\alpha$, $\pi -\beta$ och $\pi -\gamma$

$\mathrm{△}A{B}^{\prime }C$ och $\mathrm{△}{A}^{\prime }B{C}^{\prime }$ med hörnvinklarna $\pi -\alpha$, $\beta$ och $\pi -\gamma$

$\mathrm{△}AB{C}^{\prime }$ och $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }C$ med hörnvinklarna $\pi -\alpha$, $\pi -\beta$ och $\gamma$

I figur 2 har dessa par givits var sin färg och ur denna figur ser vi att varje halvsfär består av en triangel ur vardera paret. Eftersom enhetssfärens yta är $4\pi$ så är summan av areorna för de fyra trianglarna på en halvsfär $2\pi$ och vi väljer för beviset de fyra med ett gemensamt hörn i $A$, det vill säga:

$|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}A{B}^{\prime }C|+|\mathrm{△}A{B}^{\prime }{C}^{\prime }|+|\mathrm{△}AB{C}^{\prime }|=2\pi$

Genom att lägga ihop två trianglar med en gemensam sida bildas en "biangel" som har ett hörn i vardera av två motstående poler och begränsas av två meridianer. Ytan av en sådan biangel är dubbla hörnvinkeln i endera polen, ty hela sfärens area är ju $4\pi$ och den andel som biangeln upptar är lika stor som den hörnvinkeln upptar av ett helt varv, det vill säga av $2\pi$. $\mathrm{△}ABC$ ingår i tre bianglar: vardera med en av de gulmarkerade trianglarna i figur 1, med "polvinklarna" $\alpha$, $\beta$ respektive $\gamma$, sålunda

$2\alpha =|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}{A}^{\prime }BC|(=|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}A{B}^{\prime }{C}^{\prime }|)$

$2\beta =|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}A{B}^{\prime }C|$

$2\gamma =|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}AB{C}^{\prime }|$

Om vi summerar dessa tre areor (och utnyttjar likheten inom parentes i den första av dem) får vi:

$2\alpha +2\beta +2\gamma =|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}A{B}^{\prime }{C}^{\prime }|+|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}A{B}^{\prime }C|+|\mathrm{△}ABC|+|\mathrm{△}AB{C}^{\prime }|$

Vi ser här att de fyra triangelareorna i vårt uttryck för halvsfärens area finns med så vi ersätter dessa fyra med $2\pi$ och får:

$2\alpha +2\beta +2\gamma =2\pi +2|\mathrm{△}ABC|$

Vilket förkortas med två och stuvas om till:

$|\mathrm{△}ABC|=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

och beviset är därmed klart.

Polygoner

Mall:Dubbel bild Betrakta polygonsidan $\overline{AB}$ i figur 3. Om vi lägger till triangeln $\mathrm{△}ABC$ till denna sida av den $N$-hörniga polygonen $P$, med arean $|P|$, vinkelsumman $\nu +{\alpha }_1+{\beta }_1$ och för vilken Girards formel gäller, får vi för vår nya polygon, med ett hörn mer, arean:

$|P|+|\mathrm{△}ABC|=\nu +{\alpha }_1+{\beta }_1-(N-2)\pi +{\alpha }_2+{\beta }_2+\gamma -\pi \iff$

$|P|+|\mathrm{△}ABC|=\nu +({\alpha }_1+{\alpha }_2)+({\beta }_1+{\beta }_2)+\gamma -((N+1)-2)\pi$

Och om formeln gäller för $P$, så gäller den för vår nya polygon med ett hörn mer. Så, eftersom den gäller för trianglar ($N=3$), så gäller den för $N=4,5,6...$.

Formeln gäller även för konkava polygoner (med någon eller flera innervinklar större än 180°). I figur 4 tas triangeln $\mathrm{△}ABC$ bort från $P$. Vi får för ytan för den nya polygonen med ett hörn mer:

$|P|-|\mathrm{△}ABC|=\nu +{\alpha }_1+{\beta }_1-(N-2)\pi -({\alpha }_2+{\beta }_2+\gamma -\pi )\iff$

$|P|-|\mathrm{△}ABC|=\nu +{\alpha }_1+{\beta }_1-(N-2)\pi -{\alpha }_2-{\beta }_2-\gamma +\pi \iff$

$|P|-|\mathrm{△}ABC|=\nu +{\alpha }_1+{\beta }_1-(N-2)\pi -{\alpha }_2-{\beta }_2+2\pi -\gamma -\pi \iff$

$|P|-|\mathrm{△}ABC|=\nu +({\alpha }_1-{\alpha }_2)+({\beta }_1-{\beta }_2)+(2\pi -\gamma )-((N+1)-2)\pi$

"Bianglar"

I förbigående kan noteras att formeln även gäller för "bianglar" (med ett hörn i vardera av två motstående poler på sfären och begränsade av två meridianer mellan dessa):

$Arean=\alpha +\alpha -0\cdot \pi =2\alpha$

För diskussion, se ovan under trianglar.

Historia

Satsen publicerades 1629 av den fransk/nederländske matematikern Albert Girard i Invention nouvelle En L'Algebre (inte i Trigonometrie 1626 som ofta påstås), men återfanns senare i opublicerade anteckningar från 1603 av den engelske matematikern Thomas Harriot. Ett bättre bevis publicerdes 1632 av Bonaventura Cavalieri i Directorium generale uranometricum in quo trigonomrtriae logarithmicae fundamenta och ett mycket enkelt bevis gavs 1781 i De mensura angulorum solidorum av Euler.