Fullständighetsrelationen

Fullständighetsrelationen är en relation av central betydelse inom kvantmekaniken. Relationen innebär att summan av samtliga projektionsoperatorer på en ortonormal bas av kvanttillstånd i ett Hilbertrum är lika med identitetsoperatorn.

En ortonormal bas av kvanttillstånd kan erhållas i form av egentillstånden till en godtycklig observabel, som inom kvantmekaniken representeras av en Hermitesk operator. Projektionsoperatorn på ett egentillstånd $|n⟩$ med egenvärdet $n$ ges av den yttre produkten $|n⟩⟨n|$. Spektrumet kan vara diskret eller kontinuerligt.

För ett diskret spektrum ges fullständighetsrelationen av

Fullständighetsrelationen (diskret spektrum) $\sum _n|n⟩⟨n|=\hat{1}$

medan den för ett kontinuerligt spektrum ges av

Fullständighetsrelationen (kontinuerligt spektrum) $\int dn|n⟩⟨n|=\hat{1}$

Om vissa delar av spektrumet är diskreta medan andra delar är kontinuerliga, så ges fullständighetsrelationen av en summa över de diskreta delarna och en integral över de kontinuerliga delarna.

Härledning

Låt $\{|n⟩\}$ beteckna en ortonormal bas av kvanttillstånd med $⟨m|n⟩={\delta }_{mn}$, där ${\delta }_{mn}$ är Kroneckers delta. Varje annat kvanttillstånd $|\psi ⟩$ kan uttryckas som en linjärkombination av dessa tillstånd:

$|\psi ⟩=\sum _n{c}_n|n⟩.$

Eftersom basens tillstånd är ortonormala är koefficienterna $c_n$ entydigt bestämda:

$⟨m|\psi ⟩=⟨m|\sum _n{c}_n|n⟩=\sum _n{c}_n⟨m|n⟩=\sum _n{c}_n{\delta }_{mn}=c_m.$

Således kan ett godtyckligt tillstånd $|\psi ⟩$ uttryckas som

$|\psi ⟩=\sum _n⟨n|\psi ⟩|n⟩=\sum _n|n⟩⟨n|\psi ⟩.$

Eftersom denna relation gäller för ett godtyckligt $|\psi ⟩$ följer det att

$\sum _n|n⟩⟨n|=\hat{1}$

där $\hat{1}$ betecknar identitetsoperatorn. Motsvarande härledning kan användas i fallet med ett kontinuerligt spektrum.

Se även

• Bra-ket-notation

Referenser

• Mall:Bokref