Fjärilssatsen

FjärilssatsenMall:Källa behövs är ett resultat från den Euklidiska geometrin.

Sats

Låt M vara mittpunkten av en linje PQ i en cirkel genom vilken två andra linjer AB och CD dras. AD och BC skär linjen PQ på X och Y på motsvarande sätt. Då är M mittpunkten av XY.

Bevis

Bevis 1 (Coxeter och Greitzer)

Mall:Center

Rita ut linjerna $X{X}^{\prime }$ och $X{X}^{″}$ vinkelräta från $AM$ respektive $DM$ till $X$. På samma sätt rita ut $Y{Y}^{\prime }$ och $Y{Y}^{″}$ vinkelrätt från $BM$ och $CM$ till $Y$.

Nu, eftersom

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime },$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }},$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″},$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″},$

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY},$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime },$

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{DX}{BY},$

Från de föregående ekvationerna kan man se att

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$=\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY},$

$=\frac{PX\cdot QX}{PY\cdot QY},$

$=\frac{(PM-XM)\cdot (MQ+XM)}{(PM+MY)\cdot (QM-MY)},$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$

eftersom $PM$ = $MQ$

Nu,

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

Det bevisar $MX=MY,$ alltså att $M$ är mittpunkten av $XY.$

Bevis 2 (Shklyarsky)

Låt $x=XM$ och $a=PM$. Som i Bevis 1,

$AX\cdot XD=PX\cdot XQ$

$=a^2-x^2.$

Kolla på triangeln $\mathrm{△}DXM$. Enligt sinussatsen får vi

$DX=\frac{x\sin \alpha }{\sin (180-(\alpha +\beta +\gamma ))}$

$=\frac{x\sin \alpha }{\sin (\alpha +\beta +\gamma )}$

Och triangeln $\mathrm{△}AXM$

$AX=\frac{x\sin \beta }{\sin \gamma }$

vilket leder till

$AX\cdot DX=\frac{x^2\cdot \sin \alpha \cdot sin\beta }{\sin \gamma \cdot \sin (\alpha +\beta +\gamma )}=a^2-x^2.$

Nu kan vi bryta ut $x^2$:

$x^2=\frac{a^2\cdot \sin \gamma \cdot \sin (\alpha +\beta +\gamma )}{\sin \alpha \cdot \sin \beta +\sin \gamma \cdot \sin (\alpha +\beta +\gamma )}$

Eftersom det uttrycket är symmetriskt i $\alpha$ och $\beta$ kommer vi få exakt samma resultat ifall vi skulle upprepa härledningen för segmentet $y=MY$. Därför är $x=y$

Källor

• The Butterfly Theorem
• Proof of Butterfly Theorem
• The Butterfly Theorem av Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
• Mall:MathWorld
• Aspects of the Butterfly Theorem