Finita differensmetoden

Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

Härledning

Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx):

f (x + Δ x) = f (x) + Δ x \frac{f^{'} (x)}{1!} + (Δ x)^{2} \frac{f^{″} (x)}{2!} + \dots

.

Om man löser ut f'(x) får man:

f^{'} (x) = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} - Δ x \frac{f^{″} (x)}{2!} + \dots \approx \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

.

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

f^{'} (x) \approx \frac{f (x) - f (x - Δ x)}{Δ x}

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

f^{'} (x) \approx \frac{f (x + Δ x) - f (x - Δ x)}{2 Δ x}

.

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

f^{″} (x) \approx \frac{f (x + Δ x) - 2 f (x) + f (x - Δ x)}{(Δ x)^{2}}

Som exempel, betrakta Poissonekvationen $- Δ u = f$ på en kvadratisk domän $Ω$

Om Laplaceoperatorn $Δ$ utvecklas fås

- (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}) = f

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

- (\frac{u_{j + 1, k} - 2 u_{j, k} + u_{j - 1, k}}{(Δ x)^{2}} + \frac{u_{j, k + 1} - 2 u_{j, k} + u_{j, k - 1}}{(Δ y)^{2}}) = f

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen $Ω$ .

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s $Δ x = Δ y = h$ . Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

u_{j, k} = (h^{2} f + u_{j + 1, k} + u_{j - 1, k} + u_{k, j + 1} + u_{k, j - 1}) / 4

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.