Eulers kedjebråksformel

Inom matematiken är Eulers kedjebråksformel en viss identitet mellan en serie med ett kedjebråk. Formeln bevisades av Euler och publicerades 1748. Formeln är

a_{0} + a_{0} a_{1} + a_{0} a_{1} a_{2} + \dots + a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{n} = \frac{a_{0}}{1 - \frac{a_{1}}{1 + a_{1} - \frac{a_{2}}{1 + a_{2} - \frac{⋱}{⋱ \frac{a_{n - 1}}{1 + a_{n - 1} - \frac{a_{n}}{1 + a_{n}}}}}}}

Den kan lätt kontrolleras med induktion.

Specialfall

$e^{x} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots = 1 + \frac{x}{1 - \frac{1 x}{2 + x - \frac{2 x}{3 + x - \frac{3 x}{4 + x - ⋱}}}}$

$\log (1 + x) = \frac{x^{1}}{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots = \frac{x}{1 - 0 x + \frac{1^{2} x}{2 - 1 x + \frac{2^{2} x}{3 - 2 x + \frac{3^{2} x}{4 - 3 x + ⋱}}}}$

Källor

Mall:Enwp
H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company Mall:ISBN.

Eulers kedjebråksformel

Specialfall

Källor

Navigeringsmeny

Sök