Elementär ekvivalens

Elementär ekvivalens är ett begrepp inom modellteori.

Elementärt ekvivalenta strukturer

Två formella strukturer $\underset{\_}{A}$ och $\underset{\_}{B}$ är elementärt ekvivalenta, i symboler $\underset{\_}{A}\equiv \underset{\_}{B}$, om $\underset{\_}{A}$ och $\underset{\_}{B}$ satisfierar samma första ordningens satser.

En första ordningens teori är fullständig om och endast om alla dess modeller är elementärt ekvivalenta.

Elementära delstrukturer och elementära extensioner

$\underset{\_}{A}$ är en elementär delstruktur till $\underset{\_}{B}$ ($\underset{\_}{B}$ är en elementär extension av $\underset{\_}{A}$), i symboler $\underset{\_}{A}⪯\underset{\_}{B}$, om det för alla första ordningens formler $\phi (x_1,\dots ,x_n)$ och element $a_1,\dots ,a_n\in A$ gäller att

$\underset{\_}{A}\models \phi (a_1,\dots ,a_n)$ omm $\underset{\_}{B}\models \phi (a_1,\dots ,a_n)$.

Elementära inbäddningar

$\underset{\_}{A}$ är elementärt inbäddbar i $\underset{\_}{B}$, om det finns en elementär delstruktur till $\underset{\_}{B}$ som är isomorf med $\underset{\_}{A}$