Dubbelt Mersennetal
Dubbelt Mersennetal är inom matematiken ett Mersennetal av formen
där p är en Mersenneprimtalsexponent.
De första dubbla Mersennetalen
Talföljden av dubbla Mersennetal börjar med:[1]
Dubbla Mersenneprimtal
Ett dubbelt Mersennetal som även är primtal kallas för dubbelt Mersenneprimtal. Eftersom ett Mersennetal Mp kan vara primtal om och endast om p är ett primtal (se artikeln Mersenneprimtal för ett bevis) kan ett Mersennetal vara primtal om Mp i sig är ett Mersenneprimtal. De första värdena för p, för vilka Mp är ett primtal är p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Av dessa är känt för att vara primtal för p = 2, 3, 5, 7. För p = 13, 17, 19, 31 har explicita faktorer funnits som visar att motsvarande dubbla Mersennetal är inte primtal. Således, den minsta kandidaten för nästa dubbla Mersenneprimtal är eller 22305843009213693951 − 1. Cirka 1,695Mall:E är för stort för alla nu kända primtalstest. Talet har ingen primtalsfaktor lägre än 4 × 1033.[2] Det finns förmodligen inga andra dubbla Mersenneprimtal än de fyra redan kända.
Catalan–Mersennetal-förmodanden
Skriv istället för . Ett specialfall av dubbla Mersennetal är den rekursivt definierade följden:
- 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), … Mall:OEIS
som kallas Catalan–Mersennetal.[3] Det sägs att[1] Catalan kom med denna följd efter upptäckten av prima av M(127)=M(M(M(M(2)))) av Lucas år 1876.[4] Catalan förmodade att de, upp till en viss gräns, är alla primtal.Mall:Förtydliga
Även om de fem första termerna (upp till ) är primtal, kan inga kända metoder avgöra om något mer av dessa tal är primtal (i någon rimlig tid) bara för att talen i fråga är alltför stora, om inte prima av M(M(127)) motbevisas.
Inom populärkulturen
I Futurama-filmen The Beast with a Billion Backs ses det dubbla Mersennetalet i kort som "ett elementärt bevis på Goldbachs hypotes". I filmen kallas detta tal för ett "marsianprimtal" (Mall:Lang-en).
Se även
Referenser
Noter
- ↑ 1,0 1,1 Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
- ↑ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 Mall:Wayback. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(261−1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22.
- ↑ Mall:MathWorld
- ↑ Nouvelle correspondance mathématique vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 261 - 1 et 2127 - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 22 - 1, 23 - 1, 27 - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2n - 1 est un nombre premiere p, 2p - 1 est une nombre premiere p', 2p' - 1 est une nombre premiere p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2n + 1 est une nombre premiere. (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18]