Dualbas

En dualbas är ett begrepp inom linjär algebra som syftar på en speciell bas i ett vektorrums dualrum, givet en bas i det ursprungliga vektorrummet.

Definition

Givet ett ändligtdimensionellt vektorrum V och en bas till V bestående av element (e_i), konstrueras en dualbas bestående av element (f_i) i dualrummet V^* genom:

$f_i(e_j)=\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}.$

Linjäriteten hos funktionalerna f_i gör att detta definierar f_i:s värde för alla vektorer i V. Andra notationer för f_i är e_i^* och eⁱ.

Om V är ett ändligtdimensionellt vektorrum är dualbasen en bas för dualrummet. Är V oändligtdimensionellt är detta inte garanterat.

Exempel

Komplexa tal

Om man betraktar de komplexa talen som vektorrum över de reella talen och väljer basvektorerna 1 och i blir dualbasen Re och Im, de funktioner som avbildar ett komplext tal på dess real- respektive imaginärdel.

Polynomrum

Låt V vara vektorrummet bestående av polynom med grad mindre än eller lika med 2, dvs polynom på formen ax² + bx + c. Ta {1, x, x²} som bas för V. Vi får då dualbasen {f₁, f₂, f₃}:

$f_1(a{x}^2+bx+c)=a{f}_1(x^2)+b{f}_1(x)+c{f}_1(1)=c$

$f_2(a{x}^2+bx+c)=a{f}_2(x^2)+b{f}_2(x)+c{f}_2(1)=b$

$f_3(a{x}^2+bx+c)=a{f}_3(x^2)+b{f}_3(x)+c{f}_3(1)=a$

Dualbasvektorerna kan tolkas som:

$f_1(p)=p(0)f_2(p)=\frac{dp}{dx}(0)f_3(p)=\frac{1}{2}\frac{d^{2}p}{d{x}^2}(0)$.

Referenser

• Mall:Bokref

Se även

• Reflexivt rum