Dolbeaultkohomologi

Inom matematiken är Dolbeaultkohomologi (uppkallat efter Pierre Dolbeault) en analogi av de Rhamkohomologi för komplexa mångfalder. Låt M vara en komplex mångfald. Då är Dolbeaultkohomologigrupperna H^p,q(M,C) med p och q heltal realiserade som delkvoter av rummet av komplexa differentialformer av grad (p,q).

Konstruktion av Dolbeaultkohomologin

Låt Ω^p,q vara vektorknippet av komplexa differentialformer av grad (p,q). Dolbeaultoperatorn

$\overline{\partial }:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q})\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q+1})$

har, eftersom

${\overline{\partial }}^2=0,$

en associerad kohomologi. Mer specifikt definieras Dolbeaultkohomologigrupperna som kvoten

$H^{p,q}(M,ℂ)=\frac{\text{ker}(\overline{\partial }:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q},M)\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q+1},M))}{\overline{\partial }\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q-1})}.$

Dolbeaults sats

Dolbeaults sats är en komplex analogi av de Rhams sats. Den säger att Dolbeaultkohomologin är isomorfisk till kärvekohomologin av kärven av analytiska differentialformer. Mer specifikt är

$H^{p,q}(M)\cong H^q(M,{\mathrm{\Omega }}^p)$

där Ω^p är kärven av analytiska p-former på M.

Referenser

• Mall:Enwp

Allmänna källor

• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref