Derivering av integraler

Derivering av integraler är en central operation i matematisk analys. Det är ofta relevant att fråga huruvida funktioner av typen

$I(t)=\underset{E}{\int }f(x,t)dx$

har någon derivata och i så fall vilken.

Derivering genom byte av integrationsordning

$I(t)=\underset{E}{\int }f(x,t)dx=\underset{E}{\int }(\underset{a}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial }{\partial s}f(x,s)ds+f(x,a))dx$

Under vissa förutsättningar (se byte av integrationsordning) kan dessa integraler beräknas i omvänd ordning och $I(t)$ blir då lika med.

$\underset{a}{\overset{t}{\int }}(\underset{E}{\int }\frac{\partial }{\partial s}f(x,s)dx)ds+\underset{E}{\int }f(x,a)dx$,

varvid

$I^{\prime }(t)=\underset{E}{\int }\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)dx$.

Tillräckliga krav

Dessa krav är var för sig tillräckliga för att det skall vara tillåtet att flytta deriveringen innanför integralen:

1. $\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)\ge 0$ för alla $x,t$
2. $\underset{E}{\int }|\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)|dx<\mathrm{\infty }$
3. $f$ och $\frac{\partial f}{\partial t}$ är begränsade och kontinuerliga i $x$ och $t$

Exempel

Betrakta funktionen

$I(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}-e^{-tx}}{x}dx$.

Vi ser direkt att $I(1)=0$ och att

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{e^{-x}-e^{-tx}}{x}\right)=e^{-tx}$ .

Eftersom derivatan alltid är positiv kan vi byta integrationsordning:

$I(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\underset{1}{\overset{t}{\int }}{e}^{-sx}ds\right)dx=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}dx\right)ds=\underset{1}{\overset{t}{\int }}{\left[\frac{e^{-sx}}{-s}\right]}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}ds=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{s}ds=\log t$.

Genom att derivera var det alltså möjligt att beräkna $I(t)$ explicit.

Referenser

• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 Mall:ISBN