Delningsförhållande

Figur 1:
Olika värden (λ) på delningsförhållandet beroende på var punkten T ligger på sträckan $\overrightarrow{AB}$, eller snarare på linjen genom dessa båda punkter.

Med delningsförhållande avses inom geometri ett avståndsförhållande mellan tre punkter på en rät linje vilket definieras enligt (se Figur 1):

För de tre kollinjära punkterna A, B och T gäller att T delar den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$ i delningsförhållandet - vanligen betecknat (A,B;T):

$(A,B;T)=\frac{\overrightarrow{AT}}{\overrightarrow{TB}}$

Andra beteckningar förekommer dock, som (T;A,B) eller μ(T;A,B),

En viktig egenskap hos delningsförhållanden är att de är invarianta under affina avbildningar och parallellprojektioner.

Värden

Delningsförhållandets värde (λ) beroende på läget av punkten T i förhållande till punkterna A (t=0) och B (t=1). Kurvan är en hyperbel med asymptoterna λ=-1 och t=1.

Värdet på delningsförhållandet beror av var på linjen punkten T ligger i förhållande till $\overrightarrow{AB}$. Ligger T mellan A och B, är en inre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta positiva värden - från noll (om T=A) till oändligheten (då T närmar sig B). Ligger T utanför $\overrightarrow{AB}$. är en yttre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta negativa värden (då en, och endast en, av $\overrightarrow{AT}$ och $\overrightarrow{TB}$ kommer att vara riktad i en negativ riktning): om T ligger på samma sida om B som A kommer värdena att ligga mellan noll (då T ligger nära A) och -1 då avståndet (åt vänster i figur 1) närmar sig -∞, medan det i motsatt fall, då T ligger längre från A än från B, delningsförhållandets värde ändras från -∞ till -1 ju längre från B som punkten T ligger.

Eftersom $\overrightarrow{AT}$ kan skrivas som $t\cdot \overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{TB}$ som $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AB}-t\cdot \overrightarrow{AB}=(1-t)\cdot \overrightarrow{AB}$ har vi att delningsförhållandet:

$\lambda =(A,B;T)=\frac{\overrightarrow{AT}}{\overrightarrow{TB}}=\frac{t\cdot \overrightarrow{AB}}{(1-t)\cdot \overrightarrow{AB}}=\frac{t}{1-t}\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{1}{\lambda }=\frac{1-t}{t}=\frac{1}{t}-1\Rightarrow \frac{1}{t}=\frac{1}{\lambda }+1=\frac{1+\lambda }{\lambda }\iff$

$\iff t=\frac{\lambda }{\lambda +1}$

Härur följer att:

$\overrightarrow{AT}=\frac{\lambda }{\lambda +1}\cdot \overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{TB}=\frac{1}{\lambda +1}\cdot \overrightarrow{AB}$ där $\lambda =(A,B;T)$

Egenskaper

Reciprocitet

Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:

$(A,B;C)\cdot (B,A;C)=1\iff (A,B;C)=\frac{1}{(B,A;C)}\iff (B,A;C)=\frac{1}{(A,B;C)}$

Bevis

$(A,B;C)\cdot (B,A;C)=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}\cdot \frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{CA}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CA}}\cdot \frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{CB}}=-1\cdot -1=1$

Cyklisk permutation

Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:

(A,B;C)⋅(B,C;A)⋅(C,A;B) = 1

Bevis

$(A,B;C)\cdot (B,C;A)\cdot (C,A;B)=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}\cdot \frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{AC}}\cdot \frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{BA}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}\cdot \frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BA}}\cdot \frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CB}}=1$

Invarians under parallellprojektion

Figur 3.

Betrakta figur 3. De tre punkterna A' , B' och C' på linjen b är parallellprojektioner av punkterna A, B respektive C på linjen a. De prickade blå linjerna genom punkterna A respektive B är parallella med linjen b. Då de gröna projektionslinjerna är parallella medför detta att $\frac{\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overrightarrow{A{B}^{″}}}=1$, $\frac{\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overrightarrow{A{C}^{″}}}=1$ och $\frac{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overrightarrow{B{C}^{‴}}}=1$. Det vill säga att:

$\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A{B}^{″}}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}}$, $\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{A{C}^{″}}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$ och $\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B{C}^{‴}}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}}$

Då de tre trianglarna $AB{B}^{″}$, $AC{C}^{″}$ och $BC{C}^{‴}$ är likformiga, får vi att:

$\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}}=k$

Vi får således att, exempelvis, delningsförhållandet

$(A,B;C)=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{-\overrightarrow{BC}}=\frac{k\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}}{-k\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{k\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}}{k\cdot \overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}}=(A^{\prime },B^{\prime };C^{\prime })$

och motsvarande gäller övriga möjliga delningsförhållanden.

Permutationer

De tre punkterna kan permuteras på sex (=3!) olika sätt vilket leder till sex möjliga delningsförhållanden, vars värden beror av varandra enligt nedan:

$1.(A,B;C)=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}=r$

$2.(B,A;C)=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{CA}}=\frac{1}{r}$

$3.(C,B;A)=\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{AB}}=-\frac{r}{r+1}$

$4.(B,C;A)=\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{AC}}=-\frac{r+1}{r}$

$5.(A,C;B)=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=-(r+1)$

$6.(C,A;B)=\frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{BA}}=-\frac{1}{r+1}$

1 är vårt valda referensförhållande. 3 och 5 erhålls enkelt genom substitutionen $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ (samt utnyttjande av att $\overrightarrow{XY}=-\overrightarrow{YX}$). 2, 4 och 6 erhålls genom "invertering" av 1, 3 respektive 5 i enlighet med avsnittet Reciprocitet ovan.

Grafisk konstruktion av ett delningsförhållande

Figur 4:
Konstuktion av punkterma T och S som delar $\overrightarrow{AB}$ i delningsförhållandena $5:3$ respektive $-5:3$.
Notera att B' ligger i motsatt riktning (snett neråt vänster) från B som A' från A i det fall delningsförhållandet är positivt, och i samma riktning (snett upp åt höger) om det är negativt.

Om man har en linje med två punkter A och B och vill konstruera punkten T som delar $\overrightarrow{AB}$ i förhållandet m:n, det vill säga

$(A,B;T)=\frac{m}{n}$

kan man förfara enligt följande: Man drar två parallella linjer, en genom A och en genom B. På linjen genom A avsätter man en punkt A' belägen m enheter av en lämpligt vald längd från A och på linjen genom B avsätter man en punkt B' belägen n enheter av samma längd från B - på motsatta sidan i förhållande till på linjen genom A om m:n>0 och på samma sida om m:n<0 - och förbinder dessa erhållna punkter med en rät linje. Denna linje skär linjen genom A och B i en punkt T med det önskade delningsförhållandet. (Att så är fallet visas enkelt genom att de uppkomna trianglarna AA'T och BB'T är likformiga och eftersom $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}:\overrightarrow{B^{\prime }B}=m:n$ så är därför även $\overrightarrow{AT}:\overrightarrow{TB}=m:n$.)

Harmonisk delning

Betrakta sträckan $\overrightarrow{AB}$ med en inre delningspunkt, T, vars delningsförhållande har samma belopp som en yttre delningspunkt, S, men med motsatt tecken, som i figur 4. Det vill säga att

$(A,B;T)=-(A,B,S)\iff \frac{\overrightarrow{AT}}{\overrightarrow{TB}}=-\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}}\iff \frac{\overrightarrow{AT}}{\overrightarrow{AS}}=-\frac{\overrightarrow{TB}}{\overrightarrow{SB}}\iff \frac{\overrightarrow{TA}}{\overrightarrow{AS}}=-\frac{\overrightarrow{TB}}{\overrightarrow{BS}}\iff (T,S;A)=-(T,S;B)$

Det vill säga att punkterna A och B på ett motsvarande sätt delar sträckan $\overrightarrow{TS}$ i förhållanden med samma belopp, men med motsatt tecken. Denna relation kallas harmonisk delning och punkterna A och B säges vara harmoniskt konjugerade i förhållande till $\overrightarrow{TS}$, liksom S och T är det i förhållande till $\overrightarrow{AB}$.

Om $|(A,B;T)|=|(A,B;S)|=|p|:|q|$ så är $|(T,S;A)|=|(T,S;B)|=|(p-q)|:|(p+q)|$

Litteratur

• Mall:Bokref