Cauchys uppskattning

Mall:Källor Cauchys uppskattning är ett sätt att uppskatta n:te derivatan av en komplexvärd funktion. Den bygger på Cauchys integralformel.

$|f^n(z_0)|\le \frac{n!}{r^n}\underset{|w-z_0|=r}{\max }|f(w)|$

Bevis

$\left|\frac{f^n(z_0)}{n!}\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{f(w)}{{(w-z_0)}^{n+1}}dw\right|\le \frac{1}{2\pi }\frac{1}{r^{n+1}}\underset{|w-z_0|=r}{\max }|f(w)|2\pi r=\frac{1}{r^n}\underset{|w-z_0|=r}{\max }|f(w)|$

Första likheten kommer ifrån Cauchys integralformel och olikheten från en form av triangelolikhet för kurvintegraler som tar hänsyn till kurvans längd (2πr i detta fall):

$|\underset{\gamma }{\int }f(z)dz|\le \sup |f(z)||\gamma |:$

ty om kurvan γ är en parametrisering av kurvan på intervallet [a, b], dvs ändpunkterna är γ(a) och γ(b):

$|\underset{\gamma }{\int }f(z)dz|=|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\gamma (t))\frac{d\gamma (t)}{dt}dt|\le \sup |f(z)|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|\frac{\gamma (t)}{dt}\right|dt\le \sup |f(z)||\gamma |$

Se även

• Cauchys integralformel
• Komplex analys