Cauchys integralkriterium

Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller divergent genom att jämföra med motsvarande integral.

Om $f(x)$ är positiv, kontinuerlig och avtagande på intervallet $[1,\mathrm{\infty }]$ gäller att

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$ är konvergent om och endast om $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ är det

Bevis

Eftersom f(x) är avtagande gäller $f(x)\le f(k)$ om $x\ge k$. Alltså gäller

$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx\le \underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(k)dx={[f(k)\cdot x]}_k^{k+1}=f(k).$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$

Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent

På samma sätt gäller

$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx\ge \underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(k+1)dx={[f(k+1)\cdot x]}_k^{k+1}=f(k+1).$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx\ge \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k+1)=(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k))-f(1)$

Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent

Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent

Exempel

Den harmoniska serien

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$ är konvergent om och endast om $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}dx$ är det. Detta är dock inte fallet, eftersom

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}dx={[\ln x]}_1^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$