Binet–Cauchys identitet

Binet–Cauchys identitet, uppkallad efter Jacques Philippe Marie Binet och Augustin Louis Cauchy, är inom algebran identiteten

$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{d}_j\right)=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{c}_j\right)+\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)$

som gäller för alla komplexa tal (eller mera generellt, alla element tillhörande en kommutativ ring). Om a_i = c_i och b_j = d_j, ger sambandet Lagranges identitet, vilken är en allmännare version av Cauchy–Schwarz olikhet för det euklidiska rummet ${ℝ}^n$.

Bevis

Expandering av den sista termen:

$\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)$

$=\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{c}_i{b}_j{d}_j+a_j{c}_j{b}_i{d}_i)+\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i{b}_i{d}_i-\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{d}_i{b}_j{c}_j+a_j{d}_j{b}_i{c}_i)-\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i{b}_i{c}_i$

där den andra och fjärde termen tillagts för bildandet av summan

$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{c}_i{b}_j{d}_j-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{d}_i{b}_j{c}_j.$

vilken gör beviset fullständigt efter att termerna indexerade med i faktoriserats ut.

Referenser

• Mall:Enwp