Bernsteinpolynom

Ett Bernsteinpolynom är ett polynom och definieras som

$B_k^n(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t^k(1-t{)}^{n-k}$

Parametern t hålls inom intervallet [0, 1] och polynomet kommer att ha ett maximum då t = k / n.

Bernsteinpolynom används exempelvis vid konstruktion av Bezierkurvor.

Exempel

Nedan är de första Bernsteinpolynomen:

$\begin{array}{cc}{b}_{0,0}(x)& =1,\\ b_{0,1}(x)& =1-x,& b_{1,1}(x)& =x\\ b_{0,2}(x)& =(1-x{)}^2,& b_{1,2}(x)& =2x(1-x),& b_{2,2}(x)& =x^2\\ b_{0,3}(x)& =(1-x{)}^3,& b_{1,3}(x)& =3x(1-x{)}^2,& b_{2,3}(x)& =3x^2(1-x),& b_{3,3}(x)& =x^3\\ b_{0,4}(x)& =(1-x{)}^4,& b_{1,4}(x)& =4x(1-x{)}^3,& b_{2,4}(x)& =6x^2(1-x{)}^2,& b_{3,4}(x)& =4x^3(1-x),& b_{4,4}(x)& =x^4\end{array}$

I grafen nedan är $B_k^5(t)$ utritad för olika värden på k.

Egenskaper

En viktig egenskap hos Bernsteinpolynomen är att

$\sum _{k=0}^n{B}_k^n(t)=1,$

för alla t, vilket gör att man kan addera punkter med hjälp av Bernsteinpolynom.

Bernsteinpolynomen har följande derivata:

$\frac{d}{dt}{B}_k^n(t)=n(B_{k-1}^{n-1}(t)-B_k^{n-1}(t))$.

Referenser

• Mall:Bokref