Begränsade konvergenssatsen

Begränsade konvergenssatsen är en matematisk sats i måtteori. Den säger att man kan byta ordning på gränsvärde och integral om måttet för måttrummet är ändligt och funktionerna i en funktionsföljd är likformigt begränsade.

Satsen

Låt $(X,ℱ,\mu )$ vara ett måttrum så att $\mu (X)<\mathrm{\infty }$. Låt $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ vara en följd av integrerbara funktioner så att $|f_i|\le C$ för alla $i\in \mathbb{N}$ med $C<\mathrm{\infty }$. Då är

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{i}d\mu =\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{i}d\mu .$

Bevis

Mall:Källor Detta är en enkel följd av dominerade konvergenssatsen, som kan appliceras på en funktion:

$g:=C{\chi }_X.$

Funktionen g är mätbar eftersom $X\in ℱ$. Dessutom

$\int |g|d\mu =C\int {\chi }_{X}d\mu =C\mu (X)<\mathrm{\infty },$

dvs funktionen g är också integrerbar. Å andra sidan

$|f_i|\le C=C{\chi }_X=g$

för alla $i\in \mathbb{N}$. Så att

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{i}d\mu \stackrel{\mathrm{D}\mathrm{K}\mathrm{S}}{=}\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{i}d\mu .$

Vilket bevisar satsen.

Se även

• Monotona konvergenssatsen
• Dominerade konvergenssatsen
• Beppo Levis sats