Avståndsmängd

Avståndsmängd är ett begrepp inom matematik. Avståndsmängden för en delmängd till ett metriskt rum är mängden av alla avstånd mellan element i mängden.

Formell definition

Låt (X,d) vara ett metriskt rum och $A\subset X$ en mängd. Då är avståndsmängden för mängden A mängden

$D(A):=\{d(x,y):x,y\in A\}$,

dvs samlingen av alla avstånd i A.

Tillämpningar

En viktig tillämpning för avståndsmängden är diametern, diam, av en mängd som är supremum för avståndsmängden. Mer precist, diametern för en mängd $A\subset X$ är talet

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(A):=\sup D(A).$

Egenskaper

Eftersom $d:X\times X\to {ℝ}_{+}$ är en metrik gäller för delmängder A och B i X, där B innehåller A:

• $D(A)\subset D(B)$
• $D(A)\subset [0,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(A)]$

Geometri

En intressant fråga är att givet att man vet någonting om mängdens geometri kan man veta det även för avståndsmängdens geometri? I $({ℝ}^n,|\cdot |)$ finns några samband.

Mått

Steinhaus sats säger att om $A\subset {ℝ}^n$ är Lebesguemätbar och den har ett positivt n-dimensionellt Lebesguemått ${ℒ}_n(A)>0$, så är 1-dimensionella Lebesguemåttet för avståndsmängden positiv, dvs

${ℒ}_1(D(A))>0.$

Dimension

Det också finns några satser för dimension av avståndsmängder. Låt $A\subset {ℝ}^n$ vara en Borelmängd.

• Om Hausdorffdimensionen

$(n-1)/2\le {\dim }_{\mathscr{H}}A\le (n+1)/2$

så är

${\dim }_{\mathscr{H}}D(A)>{\dim }_{\mathscr{H}}A-(n-1)/2.$

• Om Hausdorffdimensionen

${\dim }_{\mathscr{H}}A>(n+1)/2$

så kan man också säga någonting om Lebesguemåttet:

${ℒ}_1(D(A))>0.$

Detta innebär

${\dim }_{\mathscr{H}}D(A)=1.$

Referenser

• Mattila, P. Geometry of sets and measures in euclidean spaces: fractals and rectifiability, Cambridge University Press, 1995.