Andragradsyta

Inom matematiken är en andragradsyta en D-dimensionell hyperyta definierad som lösningsmängden till ett kvadratiskt polynom. Med koordinater Mall:Nowrap} definieras den allmänna andragradsytan av ekvationen

$\sum _{i,j=0}^D{Q}_{i,j}{x}_i{x}_j+\sum _{i=0}^D{P}_i{x}_i+R=0$

där Q är en D+1 dimensionell matris, P är en D + 1 dimensionell vektor, och R en konstant. Värdena Q, P och R tas ofta som reella tal eller komplexa tal.

I normalform skrivs en tre-dimensionell (D = 3) andragradsyta centrerad i origo (0,0,0) som:

$\frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}\pm \frac{z^2}{c^2}=1$

Med translationer och rotationer kan varje andragradsyta transformeras till en av flera normalformer. I det tredimensionella euklidiska rummet finns 16 sådana normalformer och de mest intressanta är

Yta	Ekvation	Plot
Ellipsoid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
Elliptisk paraboloid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z=0$
Hyperbolisk paraboloid	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-z=0$
Enmantlad elliptisk hyperboloid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
Tvåmantlad elliptisk hyperboloid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$
Elliptisk cylinder	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Hyperbolisk cylinder	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Parabolisk cylinder	$x^2+2ay=0$
Sfäroider (specialfall av ellipsoider)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$
Sfär (specialfall av sfäroid)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$
Cirkulär paraboloid (specialfall av elliptisk paraboloid)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-z=0$
Enmantlad cirkulär hyperboloid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$
Tvåmantlad cirkulär hyperboloid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=-1$
Elliptisk kon	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=0$
Cirkulär cylinder	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$
Cirkulär kon	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-z^2=0$

Se även

• Kvadratisk form

Externa länkar

• [1], Quadrics in Geometry Formulas and Facts av Silvio Levy, utdrag från 30:e upplagan av "CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press)".