André–Quillenkohomologi

Inom kommutativ algebra är André–Quillenkohomologi en kohomologiteori för kommutativa ringar som är nära relaterad till kotangenskomplexet. De första tre kohomologigrupperna introducerades av Mall:Harvtxt och kallas ibland Lichtenbaum–Schlessinger-funktorerna T⁰, T¹, T², och de högre grupperna definierades oberoende av Michel André och Daniel Quillen genom att använda homotopiteori. En parallell homologiteori är André–Quillenhomologi.

Definition

Låt B vara en A-algebra och låt M vara en B-modul. Låt P vara en simplicial kofibrant A-algebraresolution av B. André betecknar den q-te kohomologigruppen av B över A med koefficienter i M med Mall:Nowrap, emedan Quillen betecknar samma grupp som Mall:Nowrap. Den q-te André–Quillen-kohomologigruppen är

$D^q(B/A,M)=H^q(A,B,M)\stackrel{\text{def}}{=}{H}^q({\mathrm{Der}}_A(P,M)).$

Den q-te André–Quillen-homologigruppen är:

$D_q(B/A,M)=H_q(A,B,M)\stackrel{\text{def}}{=}{H}_q({\mathrm{\Omega }}_{P/A}{\otimes }_{B}M).$

Låt Mall:Nowrap vara det relativa kotangenskomplexet av B över A. Då har vi formlerna

$D^q(B/A,M)=H^q({\mathrm{Hom}}_B(L_{B/A},M))$

$D_q(B/A,M)=H_q(L_{B/A}{\otimes }_{B}M).$

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation(Öppnas med DjVu bildvisningsprogram)
• Mall:Citation
• Mall:Citation