Agmons olikheter

Agmons olikheter, uppkallade efter Shmuel Agmon, är två nära relaterade olikheter som är användbara inom teorin av partiella differentialekvationer.

Låt $u\in H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })$ där $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^3$Mall:Förtydliga. Då säger Agmons olikheter i tre dimensioner att det finns en konstant $C$ så att

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{H^1(\mathrm{\Omega })}^{1/2}\Vert u{\Vert }_{H^2(\mathrm{\Omega })}^{1/2},$

och

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{1/4}\Vert u{\Vert }_{H^2(\mathrm{\Omega })}^{3/4}.$

I två dimensioner gäller fortfarande den första olikheten, men inte den andra: låt $u\in H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })$ där $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$. Då säger Agmons olikhet i två dimensioner att det finns en konstant $C$ så att

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{1/2}\Vert u{\Vert }_{H^2(\mathrm{\Omega })}^{1/2}.$