1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Visuell demonstration av de sex första summanderna.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ är inom matematiken en oändlig serie som är ett elementärt exempel på en geometrisk serie med absolut konvergens.

Dess summa är:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$

Diskret bevis

Som med alla oändliga serier, den oändliga summan

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

definieras att innebära gränsen av summan av de n första termerna

$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^n}$

det att n närmar sig oändligheten. Multiplicera s_n med 2 så framgår en använd användbar relation:

$2s_n=\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\cdots +\frac{2}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=1+s_n-\frac{1}{2^n}.$

Subtrahera s_n från båda sidor,

$s_n=1-\frac{1}{2^n}.$

när n går mot oändligheten, går s_n mot 1.

Historia

Serien användes som representation av en av Zenons paradoxer. Delarna av Horusögat var en gång tänkt att representera de sex första summanderna av serien.

Se även

• 0,999…

Källor

• Mall:Enwp