Trigonometriska ettan

Enhetscirkeln

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln (figur 1):

${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$

Sambanden mellan kvadraterna på sinus, cosinus, tangens och cotangens för en vinkel

Omstrukturerad ger trigonometriska ettan de mycket användbara:

${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$ och

${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$.

vilka genom division med ${\cos }^{2}t$ ger (efter lite omstrukturering):

${\sin }^{2}t=\frac{{\tan }^{2}t}{1+{\tan }^{2}t}$ och

${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\tan }^{2}t}$.

medan division med ${\sin }^{2}t$ på samma sätt ger:

${\sin }^{2}t=\frac{1}{1+{\cot }^{2}t}$ och

${\cos }^{2}t=\frac{{\cot }^{2}t}{1+{\cot }^{2}t}$.

Och om vi i stället dividerar ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$ och ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$ med varandra får vi:

${\tan }^{2}t=\frac{{\sin }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}=\frac{1-{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}$ och omvänt

${\cot }^{2}t=\frac{{\cos }^{2}t}{1-{\cos }^{2}t}=\frac{1-{\sin }^{2}t}{{\sin }^{2}t}$

För att göra listan fullständig har vi från definitionerna av tangens och cotangens även:

${\tan }^{2}t=\frac{1}{{\cot }^{2}t}$

${\cot }^{2}t=\frac{1}{{\tan }^{2}t}$

Bevis

Med rätvinkliga trianglar

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel $x$ med motstående katet $a$, närliggande katet $b$ och hypotenusan $c$:

$\sin x=\frac{a}{c}$

$\cos x=\frac{b}{c}$

Av detta följer

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$

Den sista likheten följer av sambandet $a^2+b^2=c^2$ enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och $\frac{\pi }{2}$ radianer. För att bevisa satsen för de vinklar $x$ som uppfyller $-\pi \le x\le \pi$ (detta intervall är tillräckligt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

$\cos (x+\frac{\pi }{2})=-\sin x$

$\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$

Av detta följer

${\cos }^2(x+\frac{\pi }{2})=(-\sin (x){)}^2={\sin }^{2}x$

${\sin }^2(x+\frac{\pi }{2})={\cos }^{2}x$

Vilket visar att sambandet gäller för $0\le x\le \pi$. Vi vet att:

$\cos (-x)=\cos x$

$\sin (-x)=-\sin x$

Av vilket följer

${\cos }^2(-x)={\cos }^{2}x,$

${\sin }^2(-x)=(-\sin (x){)}^2={\sin x}^2$

Vilket visar att sambandet ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ gäller för intervallet $-\pi \le x\le \pi$ och därmed för alla $x$.

Med enhetscirkel

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där $\alpha$ är vinkeln):

$x=\cos \alpha$

$y=\sin \alpha$

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

$x^2+y^2=1$

Ur detta följer att

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Se även

• Lista över trigonometriska identiteter