Åttahörning

Mall:Omdirigering Mall:Dubbel bild En åttahörning, åtthörning, oktogon eller oktagon, eller någon gång åttkant, är en polygon som består av åtta (räta) linjestycken, som bildar en enkel sluten kurva.^[1]Ofta har man med oktogon eller oktagon menat en regelbunden åttahörning^[2], det vill säga en liksidig och likvinklig åttahörning (med alla sidor respektive vinklar lika stora). Summan av (de inre) vinklarna i en åttahörning är alltid 1080° (6π). En regelbunden åttahörning har därför vinkeln $\frac{1}{8} \cdot 108 0^{\circ} = 13 5^{\circ} = 3 π / 4$ ; den har Schläfli-symbolen ${8}$ .

I Sverige och flera andra länder har stoppskyltar, det vill säga skyltar som visar att stopplikt gäller, formen av en regelbunden åttahörning.

Regelbundna åttahörningar

För en regelbunden åttahörning med sidlängden $a$ gäller (se figur 2):

Area

En regelbunden åttahörning har arean: $A = 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot a^{2} \approx 4, 828 \cdot a^{2} .$

Härledning

En regelbunden åttahörning är en kvadrat med fyra avskurna hörn (som i figur 3). Dessa hörn är rätvinkliga trianglar med hypotenusan

a

och de liklånga kateterna är sålunda

a / \sqrt{2}

^[3] vilket ger att den hela kvadraten har sidlängden

S = d_{2} = a + 2 a / \sqrt{2}

och därmed arean

(a + 2 a / \sqrt{2})^{2} = a^{2} + a^{2} 2 \sqrt{2} + 2 a^{2} = a^{2} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot a^{2}

. De fyra bortskurna trianglana har sammanlagt arean

4 (a / \sqrt{2})^{2} / 2 = a^{2}

^[4] vilket subtraheras från kvadraten och ger resten

2 (1 + \sqrt{2}) \cdot a^{2}

.

Diagonaler

Diagonalerna (figur 2) har längderna:

d_{1} = a \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}

d_{2} = (1 + \sqrt{2}) a

d_{3} = a \sqrt{2 + \sqrt{2}}

Härledning

Längden för

d_{2}

visades ovan under Area vara

d_{2} = a + 2 a / \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2}) \cdot a

Betrakta den rätvinkliga triangeln

△ A D E

i figur 2 vars hypotenusa har längden

d_{1}

och vars kateter har längderna

d_{2}

och

a

. Pythagoras sats ger

{d_{1}}^{2} = {d_{2}}^{2} + a^{2} = (1 + \sqrt{2})^{2} a^{2} + a^{2} = (1 + 2 \sqrt{2} + 2) a^{2} + a^{2} = a^{2} (4 + 2 \sqrt{2}) \Leftrightarrow

d_{1} = \sqrt{a^{2} (4 + 2 \sqrt{2})} = a \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}

Betrakta en rätvinklig triangel

△ A K C

där

K

(ej utmärkt i figur 2 men ligger i skärningspunkten mellan r₁ och d₂) är fotpunkt till

C

på

\overline{A D}

. Dess hypotenusa har längden

d_{3}

och, eftersom

△ C K D

är en likbent rätvinklig triangel med hypotenusan

a

och följdakligen båda kateterna

\frac{a}{\sqrt{2}}

^[3] , har kateterna i

△ A K C

längderna

\frac{a}{\sqrt{2}}

respektive

d_{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} = (1 + \sqrt{2}) a - \frac{a}{\sqrt{2}} = a (1 + \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})

.

Pythagoras sats ger:

\begin{matrix} {d_{3}}^{2} & = a^{2} (1 + \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac{a}{\sqrt{2}})^{2} = \\ = a^{2} (1 + 2 + \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{a^{2}}{2} = \\ = a^{2} (1 + 2 + \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} - 2 + \frac{1}{2}) = \\ = a^{2} (2 + \sqrt{2}) \Leftrightarrow \end{matrix}

d_{3} = a \sqrt{2 + \sqrt{2}}

De inskrivna och omskrivna cirklarna

Radierna fås direkt genom halvering av de två av diagonalerna som är liklånga med cirklarnas respektive diametrar:

Den inskrivna cirkelns radie är $r_{1} = \frac{d_{2}}{2} = a \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \approx 1, 2071 \cdot a$

Den omskrivna cirkelns radie är $r_{2} = \frac{d_{1}}{2} = a \cdot \frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}}{2} = a \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} \approx 1, 3066 \cdot a$

Cirklarnas omkretser och areor fås därefter givetvis av $2 π r$ respektive $π r^{2}$ .

"Silversnittet" och "cordobasnittet"

De om- och inskrivna cirklarnas radier och diametrar eller, om man så vill, diagonalerna $d_{1}$ och $d_{2}$ , anses ha spelat roll inom arkitektur och konst, där kvoten mellan dessa och åttahörningens sidlängd stundom använts. "Cordobasnittet" (engelska Cordovan ratio, uppkallad efter proportioner hos byggnader, särskilt stora moskén, i Cordoba, Spanien) är kvoten mellan den omskrivna cirkelns radie och åttahörningens sidlängd, vilka tillsammans bildar sidorna i "cordobatrianglen" (Cordovan triangle), medan cirkelns diameter och sida bildar sidorna i "cordobarektangeln" (Cordovan rectangle med proportionerna $1 : \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}$ ). Kvoten mellan den inskrivna cirkelns diameter och åttahörningens sidlängd, $1 : 1 + \sqrt{2}$ , har sedan ungefär senaste milleniumskifte ibland kallats "silversnittet" (på engelska silver ratio^[5]), eller det "silverne snittet", i analogi med det "gyllene snittet" (som är förhållandet mellan sidlängd och diagonal i en regelbunden femhörning). Likaledes kallas ibland en rektangel med denna proportion mellan sidorna en "silverrekttangeln" (silver rectangle).^[6]^[7] "Silversnittet" betecknas $δ_{A g}$ eller $δ_{S}$ . Ett papper av A-format (exempelvis ett vanligt A4-papper) kan delas i en kvadrat och en "silverrektangel"^[8] eftersom ett sådant papper har proportionerna $1 : \sqrt{2}$ och tar man bort en kvadrat med sidlängden 1 från detta har den återstående remsan proportionerna $1 : \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2} : 1$ .^[9]^[10]

Konstruktion från en kvadrat

Hur man konstrurerar en regelbunden åttahörning genom att vika ett kvadratiskt papper med sidlängden $S$ . Först (översta raden) viker man en diagonal, som har längden $S \cdot \sqrt{2}$ . Sedan viker man ner sidan längs diagonalen (figuren nederst till vänster) - den återstående biten av diagonalen har längden $S \cdot \sqrt{2} - S = S \cdot (\sqrt{2} - 1) = \frac{S}{1 + \sqrt{2}} = a$ ^[11], och bildar i övre vänstra hörnet ena diagonalen i en kvadrat med sidlängden $\frac{a}{\sqrt{2}}$ . Vik ner hörnet (figuren nederst i mitten) och få den andra diagonalen i denna hörnkvadrat. Denna nya hörnkvadratsdiagonal har längden $a$ , är vinkelrät mot hela papperskvadratens diagonal och är därför alltså en av åttahörningens sidor!

Hur man viker en regelbunden åttahörning utgående från ett kvadratiskt papper framgår av figuren till höger, men är materialet "styvare" får man ta till andra sätt, som passare och linjal (samma princip som pappersvikningen: dra diagonalerna med linjal, mät ut kvadratens sida med passaren på diagonalen och konstruera mittpunktsnormalen till den återstående biten av diagonalen) eller direkt mätning:

Se figur 3. Eftersom kateterna på de gröna rätvinkliga trianglar som skall "skäras bort" från kvadraten har längden $\frac{a}{\sqrt{2}}$ och hela kvadraten har sidlängden $S = d_{2} = (1 + \sqrt{2}) a$ (se ovan under Diagonaler) i förhållande till den önskade åttahörningens sidlängd $a$ , har vi att kateterna på de trianglar som skall skäras bort har längden:

\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2}) a} \cdot S = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})} \cdot S = \frac{S}{2 + \sqrt{2}} \approx \frac{S}{3, 4142} \approx 0, 2929 \cdot S

.

I praktiken

Multiplicera din spånskivekvadrats sidlängd med 0,293 och märk ut punkter på kvadratens sidor med detta avstånd från hörnen. Dra räta linjer mellan punkterna och följ linjerna när du sågar. Om du vill ha en regelbunden åttahörning med en bestämd sidlängd utgår du från en kvadrat med sidor som är

1 + \sqrt{2} \approx 2, 414

gånger så långa som denna önskade längd.

Konstruktion från en given sida med passare och linjal

Givet sidan $\overline{A B}$ ^[12] (svart) i figuren till höger.

Dra mittpunktsnormalen (brun konstruktion) till $\overline{A B}$ och kalla sidans mittpunkt $C$ . Placera passaren i $C$ och avsätt $| \overline{C B} |$ på mittpunktsnormalen (symboliserat av röd cirkelbåge) och kalla denna punkt $D$ . Dra den räta linjen genom $D$ och $B$ (orange).^[13] Sätt passaren i $B$ och avsätt $| \overline{A B} |$ på den nyss dragna (orange) linjen genom $D$ och $B$ (symboliserat av grön cirkelbåge) och kalla denna punkt $E$ . Vi har nu fått sidan $\overline{B E}$ ! Konstruera mittpunktsnormalen (blå konstruktion) till $\overline{B E}$ . De två mittpunktsnormalerna (till $\overline{A B}$ respektive $\overline{B E}$ ) skär varandra i $F$ , oktoederns mittpunkt och den omskrivna cirkelns mittpunkt. Placera passaren i $F$ och rita den omskrivna cirkeln (violett) med radien $| \overline{F A} |$ . Avsätt sedan $| \overline{A B} |$ runt denna cirkel hörn för hörn $G, H, . . .$ (symboliserat av streckade linjer).

Etymologi för de grecistiska namnen

Namnen oktogon och oktagon kommer från senlatinets oc'togonum/oc'tagonon Dit har ordet hämtats från det grekiska adjektivet Οκτάγωνος ok'tagōnos (av ὀκτώ oktōʹ 'åtta' och -γωνος -gō'nos 'vinklig'). I båda språken har ordet betydelsen 'åttahörning'. Begreppet stavas i olika europeiska språk antingen med centralt -a- (i analogi med oktaeder och andra lånord från grekiskan) eller -o- (i analogi med oktober och andra latinska bildningar baserade på grekiska lånord). I svenska språket förekommer båda varianterna, även om oktogon-stavningen i mitten av 1900-talet var den vanligaste.^[14]^[15]^[16]

Referenser och noter

↑ Mall:Webbref
↑ Mall:Webbref
↑ ^3,0 ^3,1 Enligt Pythagoras sats: $x^{2} + x^{2} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} = a^{2} / 2$ .
↑ fyra trianglar, vardera med en area som är halva produkten av bas=katet och höjd=katet
↑ Även det inverterade gyllene snittet $Φ = 1 / ϕ = 2 / (1 + \sqrt{5})$ kallas "silver ratio". Se Eric Wesstein, Golden ratio conjugate på Wolfram MathWorld.
↑ Antonia Redondo Buitrago & Encarnación Reyes Iglesias, Geometry and Art from the Cordovan Proportion och The Geometry of the Cordovan Polygons.
↑ Tomas Gil-Lopez, 2012, The Vault of the Chapel of the Presentation in Burgos Cathedral: "Divine Canon? No, Cordovan Proportion", Nexus Network Journal, 14:1.
↑ Inom origami-kretsar kallas dock själva A-formatet för silver rectangle. Se David Lister The A4 rectangle Mall:Wayback på British Origami Society.
↑ $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1}$
↑ Hemmapysslaren kan sålunda enkelt av ett A4-papper framställa en "silverrektangel" med måtten 210×87 mm och, med hjälp av denna som mall , tillverka en regelbunden åttahörning med sidlängden 87 mm av den återstående kvadraten (vik rektangeln längs med på mitten, vik ut den igen och lägg vecket längs kvadratens diagonaler).
↑ Förläng med $\frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$ i näst sista steget.
↑ $\overline{A B}$ betecknar sträckan mellan punkterna $A$ och $B$ , $| \overline{A B} |$ betecknar längden av sträckan $\overline{A B}$ .
↑ Eftersom $| \overline{C B} | = | \overline{C D} |$ och vinkeln i $C$ är rät bildar $\overline{D B}$ vinkeln 45° mot $\overline{A B}$ på åttahörningens utsida och därför vinkeln 180° - 45° = 135° på dess insida.
↑ Oktogon i SAOB.
↑ Octagon i Merriam-Webster.
↑ Octagon Mall:Wayback i Oxford Dictionaries.

Mall:Polygoner

[:0-1] Mall:Webbref

[2] Mall:Webbref

[pyth-3] 3,0 ^3,1 Enligt Pythagoras sats: $x^{2} + x^{2} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} = a^{2} / 2$ .

[4] yra trianglar, vardera med en area som är halva produkten av bas=katet och höjd=katet

[5] Även det inverterade gyllene snittet $Φ = 1 / ϕ = 2 / (1 + \sqrt{5})$ kallas "silver ratio". Se Eric Wesstein, Golden ratio conjugate på Wolfram MathWorld.

[6] Antonia Redondo Buitrago & Encarnación Reyes Iglesias, Geometry and Art from the Cordovan Proportion och The Geometry of the Cordovan Polygons.

[7] Tomas Gil-Lopez, 2012, The Vault of the Chapel of the Presentation in Burgos Cathedral: "Divine Canon? No, Cordovan Proportion", Nexus Network Journal, 14:1.

[8] Inom origami-kretsar kallas dock själva A-formatet för silver rectangle. Se David Lister The A4 rectangle Mall:Wayback på British Origami Society.

[9] $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1}$

[10] Hemmapysslaren kan sålunda enkelt av ett A4-papper framställa en "silverrektangel" med måtten 210×87 mm och, med hjälp av denna som mall , tillverka en regelbunden åttahörning med sidlängden 87 mm av den återstående kvadraten (vik rektangeln längs med på mitten, vik ut den igen och lägg vecket längs kvadratens diagonaler).

[11] Förläng med $\frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$ i näst sista steget.

[12] $\overline{A B}$ betecknar sträckan mellan punkterna $A$ och $B$ , $| \overline{A B} |$ betecknar längden av sträckan $\overline{A B}$ .

[13] Eftersom $| \overline{C B} | = | \overline{C D} |$ och vinkeln i $C$ är rät bildar $\overline{D B}$ vinkeln 45° mot $\overline{A B}$ på åttahörningens utsida och därför vinkeln 180° - 45° = 135° på dess insida.

[14] Oktogon i SAOB.

[15] Octagon i Merriam-Webster.

[16] Octagon Mall:Wayback i Oxford Dictionaries.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Åttahörning

Innehåll

Regelbundna åttahörningar