Sannolikhetsgenererande funktion

Den sannolikhetsgenererande funktionen för en diskret slumpvariabel är en potensserierepresentation av slumpvariabelns sannolikhetsfunktion. Sannolikhetsgenererande funktioner används ofta för deras kortfattade beskrivning av följden Pr ( X = k ) i sannolikhetsfunktionen för en slumpmässig variabel X. Vidare, om sannolikhetsfunktionen är reproduktionsfördelningen för en Galton-Watson-process, ger upprepad applicering av den sannolikhetsgenererande funktionen långsiktigt beteende för processen.

Definition

Om X är en diskret slumpvariabel som har utfallsrummet {0,1, ...}, definieras den sannolikhetsgenererande funktionen för X som

$G(s)=\mathrm{E}(s^X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)s^k,$

där p är sannolikhetsfunktionen för X.

Egenskaper

En del intressanta egenskaper för sannolikhetsgenererande funktioner kan härledas.

1. Sannolikhetsfunktionen för X fås genom att derivera G,

   $p(k)=\mathrm{Pr}(X=k)=\frac{G^{(k)}(0)}{k!}.$

2. Det följer från egenskap 1 att om två slumpvariabler X och Y har sannolikhetsgenererande funktioner som är lika, $G_X=G_Y$ så är även $p_X=p_Y$. Alltså, om X och Y har identiska sannolikhetsgenererande funktioner, har de identiska sannolikhetsfunktioner.
3. Väntevärdet av $X$ ges av $𝔼[X]=G^{\prime }(1^{-}).$ Vidare ges variansen av X av$\mathrm{Var}(X)=G^{″}(1^{-})+G^{\prime }(1^{-})-{[G^{\prime }(1^{-})]}^2.$
4. $G_X(e^t)=M_X(t)$ där X är en slumpvariabel, $G_X(t)$ är den sannolikhetsgenererande funktionen och $M_X(t)$ är den momentgenererande funktionen.

Exempel

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en konstant slumpvariabel, dvs Pr ( X = c ) = 1, är

  $G(s)=s^c.$

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Bernoullifördelad slumpvariabel med parameter p ges av

  $G(s)=(1-p)+ps.$

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Poissonfördelad slumpvariabel med parametern λ är

  $G(z)=e^{\lambda (z-1)}.$