Legendrepolynom

De första fem legendrepolynomerna

Legendrepolynom är inom matematik en speciell sorts polynom. De har även kallats klotfunktioner. Det l:te Legendrepolynomet P_l kan fås genom Taylorutvecklingen:

$\frac{1}{\sqrt{1-2xy+y^2}}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_l(x)y^l,(|x|\le 1,y<1).$

Vänsterledet expanderas med koefficienter i form av Legendrepolynom, varav några termer i högerledet kan användas som dess approximation. Eftersom y < 1 används inom fysiken endast de första tre termerna: dessa motsvarar monopol (laddning), dipol och kvadrupol.

Polynomen kan även fås som lösningar till Legendres differentialekvation:

$\frac{d}{dx}((1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_n(x))+n(n+1)P_n(x)=0$

Polynomen kan också genereras med de rekursiva relationerna

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$

En annan härledning kan fås genom att applicera Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess på polynomen 1, x, x², ... med avseende på den inre produkten i L² över intervallet -1 < x < 1. Legendrepolynomen är alltså ortogonala med avseende på den inre produkten i L²(-1,1):

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$

Legendrepolynomen används bl.a. inom elektrostatik som basMall:Särskiljning behövs för multipolutveckling av potentialen.

Explicit uttryck

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(x-1{)}^{n-k}(x+1{)}^k=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n-1}{k}){\left(\frac{1-x}{2}\right)}^k=2^n\cdot \sum _{k=0}^n{x}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+k-1}{2}}{n})$

Rodrigues formel

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\cdot \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[(x^2-1{)}^n]$

Integralrepresentation

För alla $x\in ℂ\setminus \{+1,-1\}$ gäller

$P_n(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{[x+\sqrt{x^2-1}\cos \phi ]}^n\mathrm{d}\phi .$

Se även

• Gegenbauerpolynom
• Jacobipolynom
• Klotytefunktion

Externa länkar

• Mall:Commonscat