Kontraktionsavbildning

Mall:Källor Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.

Definition

En avbildning $f:X\to X$ kallas för kontraktionsavbildning för det metriska rummet $X$ med metriken $d$, om för alla $x,y\in X$,

$d(f(x),f(y))\le k\cdot d(x,y)$

för en reell konstant $0<k<1$.

Man kan definiera en kontraktionsavbildning mellan två olika metriska rum, $(X,d_X)$ och $(Y,d_Y)$, som en avbildning $f:X\to Y$ där det finns ett k, $0<k<1$, så att för alla $x_1,x_2$ i X:

$d_Y(f(x_1),f(x_2))\le k{d}_X(x_1,x_2)$

Egenskaper

Varje kontraktionsavbildning är Lipschitzkontinuerlig och därmed även likformigt kontinuerlig.

En viktig egenskap för kontraktionsavbildningar är att det finns exakt en punkt $x_f$ som är invariant under avbildning $f(x_f)=x_f$. Givet en avbildning $f$, så kommer alla punkter att transformeras till denna punkt (Banachs fixpunktssats) Detta betyder att om punkten $x_f$ representerar en av alla möjliga bilder i "bildmängden" $X$, finns det en avbildning $f(x)$ som kan representera bilden. Problemet är då att finna den rätta kontraktionsavbildningen som kan reproducera bilden.