Möbiusfunktionen

Möbiusfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:

$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}0& \text{om }{p}^2|n\text{ där }p\text{ är ett primtal}\\ 1& \text{om }n=1\\ (-1{)}^k& \text{om }n\text{ är en produkt av }k\text{ distinkta primtal}\end{array}$

Om man summerar möbiusfunktionen får man Mertensfunktionen.

Funktionen är uppkallad efter den tyske matematikern August Ferdinand Möbius.

Egenskaper

• För alla $n\ge 2$ gäller

$\sum _{d|n}\mu (d)=0.$

• Möbiusfunktionen kan beräknas med hjälp av formeln

$\mu (n)=\sum _{\stackrel{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}{e}^{2\pi i\frac{k}{n}}.$

• $\sum _{k=1}^n\mu (k)\left[\frac{n}{k}\right]=1$

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k)}{k}=0$

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k)\ln k}{k}=-1$

Genererande funktioner

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}\equiv \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mu }^2(n)}{n^s}$

Se även

• Aritmetisk funktion

Externa länkar

• Mall:Commonscat