Kubisk reciprocitet

Inom elementär och algebraisk talteori är kubisk reciprocitet en samling satser om lösbarheten av kongruensen x³ ≡ p (mod q); ordet "reciprocitet" kommer från den viktigaste satsen, som säger att om p och q är primtal i ringen av Eisensteinheltal, båda relativt prima till 3, är

kongruensen x³ ≡ p (mod q) lösbar om och bara om x³ ≡ q (mod p) är.

Heltal

En kubisk rest (mod p) är ett godtyckligt tal som är en tredje potens av ett heltal (mod p). Om x³ ≡ a (mod p) saknar heltalslösningar kallas a för en kubisk ickerest (mod p).

Såsom ofta inom talteori är det enklast att arbeta med primtal, så i denna sektion är alla p, q, etcetera positiva udda primtal.

Det första att notera då man arbetar med ringen Z av heltal är att om primtalet q är ≡ 2 (mod 3) varje tal en kubisk rest (mod q). Låt q = 3n + 2; eftersom 0 = 0³ är en kubisk rest, anta att x inte är delbar med q. Då är enligt Fermats lilla sats

$x^q=x^{3n+2}\equiv x(\mathrm{mod}q)\text{ and }{x}^{q-1}=x^{3n+1}\equiv 1(\mathrm{mod}q),\text{ så }$

$x=1\cdot x\equiv x^q{x}^{q-1}=x^{3n+2}{x}^{3n+1}=x^{6n+3}=(x^{2n+1}{)}^3(\mathrm{mod}q)$

är en kubisk rest (mod q).

Härmed är det enda intressanta fallet det då p ≡ 1 (mod 3).

Euler

För relativt prima heltal m och n, definiera den rationella kubiska restsymbolen som

${\left[\frac{m}{n}\right]}_3=\{\begin{array}{cc}& +1\text{ om }m\text{ är en kubisk rest }(\mathrm{mod}n)\\ & -1\text{ om }m\text{ är en kubisk ickerest }(\mathrm{mod}n)\end{array}.$

En sats av Fermat säger att varje primtal p ≡ 1 (mod 3) är summan av en kvadrat och tre gånger en kvadrat: p = a² + 3b² och att (förutom tecknen a och b) är denna representation unik.

Baserat på detta gjorde Euler följande förmodanden:

$\begin{array}{cc}{\left[\frac{2}{p}\right]}_3=1& \text{ om och bara om}3|b\\ {\left[\frac{3}{p}\right]}_3=1& \text{ om och bara om}9|b;\text{ eller }9|(a\pm b)\\ {\left[\frac{5}{p}\right]}_3=1& \text{ om och bara om }15|b;\text{ eller }3|b\text{ and }5|a;\text{ or }15|(a\pm b);\text{ or }15|(2a\pm b)\\ {\left[\frac{6}{p}\right]}_3=1& \text{ om och bara om }9|b;\text{ eller }9|(a\pm 2b)\\ \end{array}.$

Gauss

Gauss bevisade att om   $p=3n+1=\frac{1}{4}(L^2+27M^2),$  är   $L(n!{)}^3\equiv 1(\mathrm{mod}p),$    från vilket  ${\left[\frac{L}{p}\right]}_3={\left[\frac{M}{p}\right]}_3=1$ följer ganska lätt.

Se även

• Kvadratiska reciprocitetssatsen
• Kvartisk reciprocitet
• Oktisk reciprocitet
• Eisensteinreciprocitet
• Artinreciprocitet

Källor

• Mall:Enwp

Externa länkar

• Mall:Mathworld