Friedrichs olikhet

Inom matematiken är Friedrichs olikhet en olikhet inom funktionalanalys. Den ger en övre gräns för L^p-normen av en funktion genom att använda L^p-begränsningar för svaga derivatan av funktionen och geometrin av definitionsmängden, och kan användas till att bevisa att vissa normer av Sobolevrum är ekvivalenta. Olikheten bevisades av Kurt Friedrichs.

Olikheten

Låt Ω vara en begränsad delmängd av det Euklidiska rummet Rⁿ med diameter d. Anta att u : Ω → R är i Sobolevrummet $W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ (d.v.s. u är i W^k,p(Ω) och spåret av u är noll). Då är

$\Vert u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le d^k{(\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{1/p}$

där

• $\Vert \cdot {\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$ betecknar L^p-normen;
• α = (α₁, ..., α_n) är ett multiindex med norm |α| = α₁ + ... + α_n;
• D^αu betecknar den partiella derivatan

${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}.$

Se även

• Poincarés olikhet

Källor

• Mall:Enwp