Korns olikhet

Inom matematiken är Korns olikhet en olikhet gällande gradienten av ett vektorfält. Olikheten säger följande: låt Ω vara en öppen sammanhängande domän i Rⁿ med n ≥ 2. Låt H¹(Ω) vara Sobolevrummet av alla vektorfält v = (v¹, ..., vⁿ) över Ω som tillsammans med sina svaga derivator är i Lebesguerummet L²(Ω). Beteckna den partiella derivatan i förhållande till den i-te komponenten som ∂_i och definiera normen över H¹(Ω) som

$\Vert v{\Vert }_{H^1(\mathrm{\Omega })}:={(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\sum _{i=1}^n|v^i(x){|}^2\mathrm{d}x+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\sum _{i,j=1}^n|{\partial }_j{v}^i(x){|}^2\mathrm{d}x)}^{1/2}.$

Då finns det en konstant C ≥ 0, känd som Kornkonstanten av Ω, så att för alla v ∈ H¹(Ω) är

$\Vert v{\Vert }_{H^1(\mathrm{\Omega })}^2\le C\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\sum _{i,j=1}^n(|v^i(x){|}^2+|(e_{ij}v)(x){|}^2)\mathrm{d}x(1)$

där e är den symmetriserade gradienten definierad som

$e_{ij}v=\frac{1}{2}({\partial }_i{v}^j+{\partial }_j{v}^i).$

Olikheten (1) är Korns olikhet.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Tidskriftsref Mall:MathSciNet