Eulers kedjebråksformel

Inom matematiken är Eulers kedjebråksformel en viss identitet mellan en serie med ett kedjebråk. Formeln bevisades av Euler och publicerades 1748. Formeln är

$a_0+a_0{a}_1+a_0{a}_1{a}_2+\cdots +a_0{a}_1{a}_2\cdots a_n=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{1+a_1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{\ddots }{\ddots \frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}-\frac{a_n}{1+a_n}}}}}}$

Den kan lätt kontrolleras med induktion.

Specialfall

$e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =1+\frac{x}{1-\frac{1x}{2+x-\frac{2x}{3+x-\frac{3x}{4+x-\ddots }}}}$

$\log (1+x)=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\frac{x}{1-0x+\frac{1^{2}x}{2-1x+\frac{2^{2}x}{3-2x+\frac{3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}$

Källor

• Mall:Enwp
• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company Mall:ISBN.