Gyllene vinkeln

Den gyllene vinkeln är vinkeln på den mindre delen (orange) och är beroende av att de båda delarna förhåller sig enligt det gyllene snittet. Ψ≈137,5°

Den gyllene vinkeln (Ψ) är inom geometrin ett snitt ur en 360 graders cirkel, där förhållandet mellan de båda följer det gyllene snittet. Om den stora cirkelsektorn a och den mindre cirkelsektorn b divideras blir kvoten 1,618... = φ

Om a+b är omkretsen på cirkeln och den divideras med den större delen a, är det detsamma som den större delen a dividerat med den mindre delen b.

$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}.$

Den gyllene vinkeln, är bestämd av vinkeln på den mindre cirkelsektorn, och beräknas genom att dividera 360/2,618 som blir ungefär 137,508°.

Namnet kommer från vinkelns koppling till det gyllene snittet φ; Det exakta värdet på den gyllene vinkeln är

$360(1-\frac{1}{\phi })=360(2-\phi )=\frac{360}{{\phi }^2}=180(3-\sqrt{5})\text{ grader}$

eller

$2\pi (1-\frac{1}{\phi })=2\pi (2-\phi )=\frac{2\pi }{{\phi }^2}=\pi (3-\sqrt{5})\text{ radianer}$

Härledning

Det gyllene snittet är enligt definition ovan: φ = a/b

Låt nu ƒ vara snittet av båglängden hos cirkelskivan över den totala cirkelomkretsen. Det gyllene snittet kan därför inkorporeras i formeln enligt

$f=\frac{b}{a+b}=\frac{1}{1+\phi }.$

Men eftersom

$1+\phi ={\phi }^2,$

Så följer det att

$f=\frac{1}{{\phi }^2}$

Detta är samma sak som att säga att φ ² 'antal gyllene vinklar' får plats i en cirkel.

Den fraktion av en cirkel som upptas av den gyllene vinkeln blir därmed

$f\approx 0.381966.$

Den gyllene vinkeln g kan därefter approximeras i antalet grader enligt:

$g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },$

Eller i radianer:

$g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.$

Gyllene vinkeln i naturen

Vinkeln mellan respektive blad i följd är satt till den hos gyllene vinkeln.

Den gyllene vinkeln spelar en viktig roll när det kommer till phyllotaxis; till exempel så är vinkeln mellan respektive utåtriktade blad hos en solros approximativt den gyllene vinkeln.