Dimensionssatsen

Dimensionssatsen är en sats inom linjär algebra om det samband som finns mellan nollrummet och värderummet till en linjär avbildning och dess dimensioner:

Om $𝕌$ och $𝕍$ är två vektorrum och $F:𝕌\to 𝕍$ är en linjär avbildning så gäller:

$\dim N(F)+\dim V(F)=\dim 𝕌$

Bevis

Antag att $\dim 𝕌=n$, låt ${\overline{u}}_1,...,{\overline{u}}_k$ vara en bas för $N(F)$ och fyll ut med ${\overline{u}}_{k+1},...,{\overline{u}}_n$ till en bas för $𝕌$.

• Om $\dim N(F)=\dim 𝕌=n\iff k=n$ är $V(F)=\{0\}$ ty det enda som nås av $F$ är nollvektorn och $\dim N(F)+\dim V(F)=n+0=n=\dim 𝕌$ och satsen stämmer.

• Om $1\le \dim N(F)=k<n$ gäller som vanligt att $V(F)=[F({\overline{u}}_1),...,F({\overline{u}}_n)]$ men då $F({\overline{u}}_1)=...=F({\overline{u}}_k)=0$ innebär det att $V(F)=[F({\overline{u}}_{k+1}),...,F({\overline{u}}_n)]$ där $F({\overline{u}}_{k+1}),...,F({\overline{u}}_n)$ måste vara linjärt oberoende ty ${\lambda }_{k+1}F({\overline{u}}_{k+1})+...+{\lambda }_{n}F({\overline{u}}_n)=0\iff F({\lambda }_{k+1}{\overline{u}}_{k+1}+...+{\lambda }_n{\overline{u}}_n)=0\iff {\lambda }_{k+1}{\overline{u}}_{k+1}+...+{\lambda }_n{\overline{u}}_n=0\iff {\lambda }_{k+1}=...={\lambda }_n=0$ ty ${\lambda }_{k+1}{\overline{u}}_{k+1}+...+{\lambda }_n{\overline{u}}_n\in N(F)$ omm ${\lambda }_{k+1}{\overline{u}}_{k+1}+...+{\lambda }_n{\overline{u}}_n=0$ och ${\overline{u}}_{k+1},...,{\overline{u}}_n$ är alla $=0$ då de är basvektorer i $𝕌$ och således linjärt oberoende. Alltså utgör $F({\overline{u}}_{k+1}),...,F({\overline{u}}_n)$ en bas för $V(F)$ och $\dim N(F)+\dim V(F)=k+(n-k)=n=\dim 𝕌$ och satsen stämmer.

• Om $\dim N(F)=0\iff k=0$ gäller som vanligt att $V(F)=[F({\overline{u}}_1),...,F({\overline{u}}_n)]$ där $F({\overline{u}}_1),...,F({\overline{u}}_n)$ måste vara linjärt oberoende ty ${\lambda }_{1}F({\overline{u}}_1)+...+{\lambda }_{n}F({\overline{u}}_n)=0\iff F({\lambda }_1{\overline{u}}_1+...+{\lambda }_n{\overline{u}}_n)=0\iff {\lambda }_1{\overline{u}}_1+...+{\lambda }_n{\overline{u}}_n=0\iff {\lambda }_1=...={\lambda }_n=0$ ty $N(F)=\{0\}$ och ${\overline{u}}_1,...,{\overline{u}}_n$ är alla $=0$ då de är basvektorer i $𝕌$ och således linjärt oberoende. Alltså utgör $F({\overline{u}}_1),...,F({\overline{u}}_n)$ en bas för $V(F)$ och $\dim N(F)+\dim V(F)=0+n=n=\dim 𝕌$ och satsen stämmer.

Således har vi nu visat att satsen stämmer i samtliga tre fall.

Se även

• Värderum
• Nollrum

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings universitet

Mall:Linjär-algebra