Cyklisk matris

En cyklisk matris är en matris där varje rad (och kolonn) är en cyklisk skiftning av elementen i den föregående raden (kolonnen). Cykliska matriser är ett specialfall av Toeplitzmatriser. Cykliska matriser används i samband med diskret Fouriertransform och inom Advanced Encryption Standard.

Definition

En cyklisk matris C kan skrivas på formen:

$C=\left(\begin{array}{ccccc}{c}_1& c_2& c_3& \cdots & c_n\\ c_n& c_1& c_2& \cdots & c_{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_2& c_3& c_4& \cdots & c_1\end{array}\right)$

så att matrisen C bestäms av den n-dimensionella vektorn bestående av $(c_1,c_2,...,c_n)$. En matris är cyklisk om och endast om den kan skrivas som en summa:

$C=\sum _{k=0}^{n-1}{c}_{k+1}{P}^k$

där P kallas för en grundläggande cyklisk permutationsmatris och har formen:

$P=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Egenskaper

• Cykliska matriser är normala och har egenvektorer v_j:

${𝐯}_j=\frac{1}{\sqrt{n}}{\left(\begin{array}{cccccc}{e}^{\frac{2\pi j}{n}}& e^{\frac{4\pi j}{n}}& \cdots & e^{\frac{2\pi jk}{n}}& \cdots & 1\end{array}\right)}^{T}j=0,1,...,n-1$

• Summan och produkten av två cykliska matriser är cykliska matriser och multiplikation mellan cykliska matriser är kommutativ. Alltså bildar mängden av alla n×n-matriser ett n-dimensionellt vektorrum, men även en kommutativ algebra över en kropp.

Referenser

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref