Bildmått

Ett bildmått är inom matematiken ett mått som avbildar en måttstruktur från andra måttrummet till andra.

Formell definition

Låt $(X,ℱ,\mu )$ vara ett måttrum och $(Y,𝒢)$ ett mätbart rum, dvs $𝒢$ är en sigma-algebra i Y. Om $f:X\to Y$ är en mätbar funktion är µ:s f-bildmått eller bildmåttet en funktion $f_{\mathrm{\#}}\mu :𝒢\to [0,\mathrm{\infty }]$ definierad som:

$(f_{\mathrm{\#}}\mu )(A):=\mu (f^{-1}A),$

för $A\in 𝒢$, dvs man mäta urbilder med måttet µ.

Med urbildens egenskaper man kan visa nästan:

• Tomma mängden har bildmåttet noll:

$(f_{\mathrm{\#}}\mu )(\varnothing )=\mu (f^{-1}\varnothing )=\mu (\varnothing )=0;$

• Bildmåttet är σ-additiv, dvs om E₁, E₂, E₃, ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i $𝒢$ så är

$(f_{\mathrm{\#}}\mu )\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\mu \left(f^{-1}\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{-1}{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (f^{-1}{E}_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(f_{\mathrm{\#}}\mu )(E_i),$

eftersom f^-1E₁, f^-1E₂, f^-1E₃, ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i $ℱ$.

Dvs bildmåttet är ett mått $𝒢\to [0,\mathrm{\infty }]$. Så att $(Y,𝒢,f_{\mathrm{\#}}\mu )$ är ett måttrum.

Sannolikhetsfördelning

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

En viktig tillämpning för bildmåttet är stokastisk variabels fördelning. Mer precist, låt $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum och $X:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$ en stokastisk variabel. Så att sannolikhetsfördelning för X är ett bildmått

${\mathbb{P}}_X:=X_{\mathrm{\#}}\mathbb{P}.$

Se även

• Måtteori
• Sannolikhetsteori