Cayleys sats

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen på $G$, betecknad $S_G$, som är isomorf med $G$.

Tag ett $a\in G$ och definiera en avbildning $f_a:G\to G$ som $f_a(g)=ag$ för alla $g\in G$. Bilda $H=\{f_a:a\in G\}$, som är en delmängd till $S_G$. $H$ är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

$f_a{f}_b(g)=f_a(f_b(g))=f_a(bg)=abg=f_{ab}(g)$

dvs, $f_a{f}_b=f_{ab}$. Det neutrala elementet $\epsilon \in S_G$ ligger i $H$ eftersom $\epsilon =f_{1_G}$. Inversen till $f_a$ ges av $f_{a^{-1}}$. Detta ger att $H$ är en grupp, specifikt en delgrupp till $S_G$.

Gruppen $H$ är i själva verket isomorf med $G$, ty $\varphi :G\to H$ definierad som $\varphi (a)=f_a$ är en isomorfi:

$\varphi$ är injektiv, ty om $\varphi (a)=\varphi (b)$ är $f_a=f_b$ som ger $f_a(1_G)=f_b(1_G)\iff a=b$.

Att $\varphi$ är surjektiv följer ur definitionen.

Att $\varphi$ är en grupphomomorfi, dvs att $\varphi (a)\varphi (b)=\varphi (ab)$ följer ur $f_a{f}_b=f_{ab}$.

De tre egenskaperna ovan ger att $\varphi$ är en isomorfi. Alltså är gruppen $G$ isomorf med permutationsgruppen $H$, vilket bevisar Cayleys sats.

Generalisering

Cayleys sats kan generaliseras. Om $H$ är en delgrupp till $G$ med index $[G:H]=n$ så finns en homomorfi $\phi :G\to S_n$ där $S_n$ är den symmetriska gruppen med $n$ element sådan att $\varphi$:s kärna är en delgrupp till $H$. Med $H=\{1\}$ fås den ursprungliga satsen.

Bevis

Låt $a$ vara ett element i $G$ och låt $X$ vara mängden av vänstersidoklasser till $H$ i $G$. Definiera en funktion ${\phi }_a:X\to X$ genom

${\phi }_a(g)=agH$

för alla $g\in G$. Funktionen ${\phi }_a$ är då en permutation av $X$ och avbildningen $\phi :X\to S_X$ definierad genom

$\phi (a)={\phi }_a$

är en homomorfi, då det gäller att

$\phi (ab)={\phi }_{ab}={\phi }_a\circ {\phi }_b=\phi (a)\phi (b).$

Gruppen $S_x$ är isomorf med $S_n$, då vi från förutsättningarna vet att $X$ har $n$ element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt $a$ vara ett element i kärnan till $\phi$. Då är $agH=gH$ för alla $g$, och speciellt är $aH=H$ vilket ger att $a\in H$. Alltså gäller att $\varphi$:s kärna är en delgrupp till $H$, vilket skulle visas.

Se även

• Yonedas lemma, en generalisering av Cayleys sats i kategoriteori.

Referenser

Tryckta källor

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref