Golv- och takfunktionerna

Golvfunktionens graf

Takfunktionens graf

Golv- och takfunktionerna är två funktioner inom talteorin.

Värdet av golvfunktionen $\lfloor x\rfloor$ för något reellt tal x är det största heltal som är mindre än eller lika med x (för positiva tal x ger golvfunktionen helt enkelt heltalsdelen av x).

Exempel:

• $\lfloor 2,9\rfloor =2$
• $\lfloor 2\rfloor =2$
• $\lfloor -2,5\rfloor =-3$

Andra beteckningssätt är $\mathrm{floor}(x)$ (av engelska floor ’golv’) och $\left[x\right]$

Takfunktionen $\lceil x\rceil$ ger på motsvarande sätt det minsta heltal som är större än eller lika med x.

Exempel:

• $\lceil 2,1\rceil =3$
• $\lceil 2\rceil =2$
• $\lceil -2,5\rceil =-2$

Ett annat beteckningssätt är $\mathrm{ceil}(x)$ (av engelska ceiling ’(inner)tak’).

Egenskaper

Srinivasa Aiyangar Ramanujan presenterade följande problem i Journal of the Indian Mathematical Society.

Om n är ett positivt heltal, bevisa att

(i)     $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +\lfloor \frac{n+2}{6}\rfloor +\lfloor \frac{n+4}{6}\rfloor =\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n+3}{6}\rfloor$

(ii)     $\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{4}}\rfloor$

(iii)     $\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2}\rfloor .$

Användningar

Formler för primtal

Talet n är ett primtal om och endast om

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{n}{m}\rfloor -\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor )=2.$

Låt r > 1 vara ett heltal, p_n det n-te primtalet, och

$\alpha =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_m{r}^{-m^2}.$

Då är

$p_n=\lfloor r^{n^2}\alpha \rfloor -r^{2n-1}\lfloor r^{(n-1{)}^2}\alpha \rfloor .$

Det finns ett tal θ = 1.3064... (Mills konstant) så att

$\lfloor {\theta }^3\rfloor ,\lfloor {\theta }^9\rfloor ,\lfloor {\theta }^{27}\rfloor ,\dots$

är alla primtal.

Det finns även ett tal ω = 1.9287800... med egenskapen att

$\lfloor 2^{\omega }\rfloor ,\lfloor 2^{2^{\omega }}\rfloor ,\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\rfloor ,\dots$

är alla primtal.

Om π(x) är antalet primtal mindre eller lika stora som x, får man följande formel som en enkel konsekvens av Wilsons sats:

$\pi (n)=\sum _{j=2}^n\lfloor \frac{(j-1)!+1}{j}-\lfloor \frac{(j-1)!}{j}\rfloor \rfloor .$

Om n ≥ 2, är

$\pi (n)=\sum _{j=2}^n\lfloor \frac{1}{\sum _{k=2}^j\lfloor \lfloor \frac{j}{k}\rfloor \frac{k}{j}\rfloor }\rfloor .$

Ingen av formlerna i denna sektion är dock av någon praktisk betydelse.

Se även

• Stegfunktion/trappfunktion

Externa länkar

• Mall:Commonscat