Multinomialsatsen

Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom $(a_{1} + \dots + a_{m})^{n}$ som en summa av potenser i talen $a_{1}, \dots, a_{m}$ .

Satsens lydelse

Låt $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ vara godtyckliga reella eller komplexa tal och $n$ ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen $(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m})^{n}$ framställas som följande summa:

(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) a_{1}^{k_{1}} \dots a_{m}^{k_{m}} .

Summasymbolen $\sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n}$ indikerar att man skall summera över alla multipler $(k_{1}, \dots, k_{m})$ av naturliga tal sådana att deras summa $k_{1} + \dots + k_{m} = n .$ Symbolen

(\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! \dots k_{m}!}

där $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ (se fakultet), kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten $(\binom{n}{k})$ .

Exempel: Trinom

Trinomet $(a_{1} + a_{2} + a_{3})^{2}$ kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom användning av multinomialsatsen.

Multinomialsatsen kräver tripler $(k_{1}, k_{2}, k_{3})$ där komponenterna $k_{1}$ , $k_{2}$ och $k_{3}$ är heltal i mängden ${0, 1, 2}$ sådana att deras summa är $k_{1} + k_{2} + k_{3} = 2 .$ De möjliga triplerna är $(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2), (0, 2, 0)$ och $(2, 0, 0)$ .

Det kan noteras att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt att skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver en lösning till problemet att bestämma antalet sätt som det naturliga talet n kan skrivas som en summa av m naturliga tal.

Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är

(\binom{2}{1, 1, 0}) = \frac{2!}{1! 1! 0!} = 2 = (\binom{2}{1, 0, 1}) = (\binom{2}{0, 1, 1})

och

(\binom{2}{0, 0, 2}) = \frac{2!}{0! 0! 2!} = 1 = (\binom{2}{0, 2, 0}) = (\binom{2}{2, 0, 0}) .

Multinomialsatsen ger oss potensen $(a_{1} + a_{2} + a_{3})^{2}$ som summan

(\binom{2}{2, 0, 0}) a_{1}^{2} a_{2}^{0} a_{3}^{0} + (\binom{2}{0, 2, 0}) a_{1}^{0} a_{2}^{2} a_{3}^{0} + (\binom{2}{0, 0, 2}) a_{1}^{0} a_{2}^{0} a_{3}^{2} + (\binom{2}{1, 1, 0}) a_{1}^{1} a_{2}^{1} a_{3}^{0} +

+ (\binom{2}{1, 0, 1}) a_{1}^{1} a_{2}^{0} a_{3}^{1} + (\binom{2}{0, 1, 1}) a_{1}^{0} a_{2}^{1} a_{3}^{1},

vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är

a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + 2 a_{1} a_{2} + 2 a_{1} a_{3} + 2 a_{2} a_{3} .

Multinomialsatsen

Satsens lydelse

Exempel: Trinom

Navigeringsmeny

Sök