Transponat

Transponatet A^T av en matris A fås bland annat genom att reflektera A:s element i huvuddiagonalen. Repetera processen för att få tillbaka utgångsmatrisen.

Inom linjär algebra är transponatet av en matris A en matris betecknad A^T. A^T kan beräknas på flera ekvivalenta sätt:

• Låt A:s rader bilda A^T:s kolonner.
• Låt A:s kolonner bilda A^T:s rader.
• Bilda A^T genom att reflektera A:s element i huvuddiagonalen.

Om a_ij är elementet på rad i, kolonn j i A ges elementen i A^T av:

$a_{ij}^T=a_{ji}$.

Exempel

${\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 5& 7\\ 9& 7& 3\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 9\\ 2& 5& 7\\ 1& 7& 3\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{ccc}1& 7& 5\\ 2& 3& 0\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 3\\ 5& 0\end{array}\right)$

Egenskaper

Om A och B är matriser och c en skalär, så har man följande egenskaper:

• Transponatet är en involution:

$(A^T{)}^T=A$

• Transponatet är en linjär avbildning:

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

$(cA{)}^T=c{A}^T$

• Vid transponering av en produkt av matriser vänder man på ordningen:

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

• Determinanten är invariant för transponering:

$\det (A^T)=\det A$

• Om $A$ är inverterbar är transponatet av inversen lika med inversen av transponatet:

$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

• Om $A$ endast har reella tal som element är $A^{T}A$ en positivt semidefinit matris.

Speciella matriser

Om D är en diagonalmatris är D^T = D.

En symmetrisk matris är en matris där

$A=A^T.$

En skevsymmetrisk matris är en matris där

$A=-A^T.$.

En ortogonal matris är en matris vars transponat är dess invers:

$A^{T}A=A{A}^T=I$

$A^T=A^{-1}.$

Se även

• Hermiteskt konjugat

Mall:Linjär-algebra