Eulers transform

Eulers transform, uppkallad efter Leonhard Euler, är inom matematik en metod för att förbättra konvergensen hos alternerande serier. En konvergent alternerande serie

$s=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k=a_0-a_1+a_2-\dots$

transformeras med denna metod till

$s=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\mathrm{\Delta }}^k{a}_0}{2^{k+1}}$

där Δ är en differensoperator sådan att

${\mathrm{\Delta }}^k{a}_0=\sum _{m=0}^k(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})a_{k-m}.$

Eulers transform är en speciell tillämpning av binomialtransformen.

Exempel

Den långsamt konvergerande alternerande harmoniska serien

$s=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots$

med summan s = ln 2 omvandlas med Eulers transform till

$\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{64}+\frac{1}{160}+\dots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k{2}^k}$

som konvergerar betydligt snabbare.

Källor

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, s. 16
• Lennart Råde & Bertil Westergren, Mathematics Handbook for Science and Engineering, Studentlitteratur 2004, s. 421